对称和偏对称矩阵| 12年级数学

矩阵知识对于数学的各个分支都是必不可少的。矩阵是数学中最强大的工具之一。现在，请参阅本文中矩阵的功能之一。在这里，我们讨论对称和偏对称矩阵。根据矩阵，只有平方矩阵可以是对称或偏斜对称形式。在本文的后面，我们将讨论所有事情。

对称矩阵

如果对于矩阵，该矩阵的转置形式与原始矩阵相同，则称该矩阵为对称矩阵。设大小为nxn的方阵A是对称的

A ^t = A

其中， [a _ij ] = [a ^_ji ] ，对于1≤i≤n和1≤j≤n 。在这种情况下， [a _ij ]是矩阵A中位于^第i行^第j列的位置(i，j)处的元素，而[a _ji ]^是属于第j行的位置(j，i)处的元素^{矩阵A的第}i列。因此它是矩阵A的转置形式。

例子

$A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix},$
$Transpose \ of \ A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$

因此，此矩阵是对称矩阵，因为此矩阵的转置形式本身就是原始矩阵。

偏对称矩阵

如果对于矩阵，该矩阵的转置形式与原始矩阵的负数相同，则该矩阵被称为歪斜对称矩阵。设大小为nxn的方阵A是斜对称的，如果

A ^t = -A

其中， [a _ij ] = [a ^_ji ] ，对于1≤i≤n和1≤j≤n 。在这种情况下并[a _IJ]是在位置(i，j)的一个元素是^第i行和j在矩阵A^列和[_第ji]是在位置(j，i)的一个元件，其是^第j行和矩阵A中的^第i列。

例子

$A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -8 \\ -3 & 0 & 6 \\ 8 & -6 & 0 \end{pmatrix},$
$Transpose \ of \ A = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 8 \\ 3 & 0 & -6 \\ -8 & 6 & 0 \end{pmatrix}$

在此，以转置形式，矩阵看起来像原始矩阵的负数。

对称矩阵和偏对称矩阵的性质

有一些规则来自对称矩阵和偏对称矩阵，

1.如果矩阵A是一个方形矩阵，则(A + A ^t )总是对称的。

Prove: 

To find if a matrix symmetric or not, first, we have to find the transposed form of the given matrix 

So, let’s find the transpose of (A + A^t)

= (A + A^t)^t

= A^t + (A^t)^t

= A^t + A   [here, (A^t)^t = A]

= (A + A^t)

So, this is the same as the given matrix, so it is symmetric.

2.如果矩阵A是一个方形矩阵，则(A – A ^t )始终是歪斜对称的。

Prove:

To find if a matrix skew-symmetric or not, first, we have to find the transposed form of the given matrix 

So, let’s find the transpose of (A – A^t)

= (A − A^t)^t

= A^t − (A^t)^t

= A^t − A  [here, (A^t)^t = A]

= − (A − A^t) 

So, this form is the negative of the given matrix, so it is skew-symmetric.

以对称和偏对称矩阵形式表示矩阵

Every square matrix can be expressed uniquely as the sum of symmetric and skew-symmetric matrices.

证明：

Let A be a square matrix,

We can write, A = A/2 + A/2 

$= \frac{1}{2}(A+A^t) + \frac{1}{2}(A-A^t)$

Let, A = P + Q

$where\quad P=\frac{1}{2}(A+A^t) ,\quad Q=\frac{1}{2}(A-A^t)$

Now, find P^t and Q^t

$P^t =(\frac{1}{2}(A+A^t))^t \\ =\frac{1}{2}(A+A^t)^t \\ =\frac{1}{2}(A^t+(A^t)^t) \\ =\frac{1}{2}(A+A^t) \\ = P$

and, 

$Q^t =(\frac{1}{2}(A-A^t))^t \\ =\frac{1}{2}(A-A^t)^t \\ =\frac{1}{2}(A^t-(A^t)^t) \\ =\frac{1}{2}(A^t-A) \\ =-\frac{1}{2}(A-A^t) \\ = -Q$

So, here P is symmetric and Q is skew-symmetric matrices and A is the sum of P and Q.

例子

将矩阵A表示为对称矩阵和偏斜对称矩阵的总和，其中

$A = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{pmatrix}$

回答：

First, find the transpose of A

$A^t = \begin{pmatrix} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{pmatrix}$

Now find (A + A^t) and (A – A^t)

$(A+A^t) \\ =\begin{pmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \therefore \frac{1}{2}(A+A^t) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Similarly:

$(A-A^t) \\ =\begin{pmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} 0 & 2a & 2b \\ -2a & 0 & 2c \\ -2b & -2c & 0 \end{pmatrix} \\ \therefore \frac{1}{2}(A-A^t) \\ = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 2a & 2b \\ -2a & 0 & 2c \\ -2b & -2c & 0 \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{pmatrix}$

Now, check the sum of (1/2)(A + A^t) and (1/2)(A – A^t) is the same as A or not,

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{pmatrix} \\ = A$

So here A is expressed as the sum of the symmetric and skew-symmetric matrix.