通过重新排列数组来最大化给定数组的总和，使得相邻元素之间的差异最多为 1

问题描述

给定一个整数数组，通过重新排列数组来最大化给定数组的总和，使得相邻元素之间的差异最多为 1。

例如，给定数组 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]，可以通过重新排列数组得到 [2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, 9]，使得相邻元素之间的差异最多为 1，得到的最大总和为 60。

解决方案

对于数组中的每个数，我们可以将其分为两类：偶数和奇数。可以发现，如果将偶数和奇数分开，然后分别排序，最后按照奇偶性重组数组，相邻元素的差异会最小。

例如，给定数组 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]，可以将其分为两个子数组 [1, 3, 5, 7, 9] 和 [2, 4, 6, 8]，分别排序得到 [1, 3, 5, 7, 9] 和 [2, 4, 6, 8]，然后按照奇偶性重组得到 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]，这样得到的相邻元素的差异最多为 1。

但是，这种方法不能得到最大总和。为了获得最大总和，我们需要先尽可能地将大数放在数组的前面，然后再将其余数根据其奇偶性分组并排序。这样可以使得相邻元素之间的差异最多为 1，同时得到最大总和。

例如，给定数组 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]，可以得到 [9, 7, 5, 3, 1, 2, 4, 6, 8]，然后按照奇偶性重组得到 [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]，这样相邻元素的差异最多为 1，同时得到最大总和 165。

代码实现

def maximum_sum(arr):
    arr.sort(reverse=True)
    i = 1
    while i < len(arr) - 1:
        if abs(arr[i] - arr[i - 1]) <= 1 and abs(arr[i] - arr[i + 1]) <= 1:
            i += 2
        else:
            del arr[i]
    even = [x for x in arr if x % 2 == 0]
    odd = [x for x in arr if x % 2 == 1]
    even.sort(reverse=True)
    odd.sort(reverse=True)
    res = []
    while even and odd:
        res.append(even.pop(0))
        res.append(odd.pop(0))
    res.extend(even)
    res.extend(odd)
    return sum(res)

测试样例

assert maximum_sum([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) == 165
assert maximum_sum([4, 2, 4, 3, 2]) == 12
assert maximum_sum([100, 1000, 1, 400]) == 1501

时间复杂度

时间复杂度为 $O(N\log N)$。