用总和K最大化数组中相邻元素之间的绝对差之和

当我们有一个长度为n的数组a时，如果我们将相邻元素之间的绝对差求出来并相加，得到的值为sum(a)。现在我们可以进行最多k次操作，每次操作可以选择一个元素x，并将其替换为y(x!=y)，操作完成后我们希望得到一个新的数组b，并使得sum(b)-sum(a)最大。

解决方案

对于这个问题，我们可以使用动态规划来解决。我们可以将问题简化为对相邻两个元素之间的绝对差进行操作。

令f[i][j][0/1]表示前i个数中已经进行了j次操作，最后一次操作是否是将第i个数替换为其相邻的数。

则有转移方程：

f[i][j][0] = max{ f[i-1][j][0], f[i-1][j][1] + abs(a[i]-a[i-1]) } f[i][j][1] = max{ f[i-1][j-1][0] - abs(a[i]-a[i-1]), f[i-1][j][1] + abs(a[i]-a[i-1]), f[i-1][j-1][1] + abs(a[i]-a[i-2]) }

其中，第一个状态表示当前操作不替换第i个元素，第二个状态表示当前操作替换第i个元素。

由于每个状态只与前一个状态有关，所以可以优化空间复杂度为O(k)，时间复杂度为O(nk)。

代码示例

def max_diff_sum(a, k):
    n = len(a)
    f = [[[-float('inf') for _ in range(2)] for _ in range(k+1)] for _ in range(n+1)]
    f[1][0][0] = 0
    f[1][1][1] = 0

    for i in range(2, n+1):
        for j in range(k+1):
            f[i][j][0] = max(f[i-1][j][0], f[i-1][j][1] + abs(a[i-1]-a[i-2]))
            if j > 0:
                f[i][j][1] = max(f[i-1][j-1][0] - abs(a[i-1]-a[i-2]), f[i-1][j][1] + abs(a[i-1]-a[i-2]), f[i-1][j-1][1] + abs(a[i-1]-a[i-3]))

    res = [-float('inf') for _ in range(k+1)]
    for i in range(k+1):
        res[i] = max(f[n][i][0], f[n][i][1])
    return sum(res)

总结

此题使用动态规划可以很好地解决，但需要注意一些边界问题，如第一个元素和第二个元素的特殊处理。同时，也要注意空间复杂度的优化，可以通过状态压缩来实现。