用总和 K 最大化 Array 中相邻元素之间绝对差的总和

介绍

在数组中，相邻元素之间的绝对差可以用来描述数组中元素之间的相似性和差异性。一个通用的问题是如何通过调整数组中相邻元素之间的绝对差来最大化某个目标。

这里介绍一种用总和 K 最大化数组中相邻元素之间绝对差的总和的算法。

算法

思路

假设数组为 a，则目标是通过调整 a 的元素，让相邻元素之间的绝对差的总和最大化，即

maximize sum(abs(a[i-1]-a[i])) for i in range(1, len(a))

其中，i 的范围是从 1 到数组长度减一，因为在求相邻元素之间绝对差的时候，需要访问当前元素和它前一个元素，而最后一个元素没有后面的相邻元素。

为了让绝对差的总和最大化，我们可以采用贪心策略，即将数组中的元素按照从小到大排序，然后交替选择两个元素放在一组中，这样每组中的元素最大差值为排序后邻近两数之差的最大值。

设选择的两个元素是 a[i] 和 a[i+1]，那么它们的差值为 a[i+1]-a[i]。如果我们将一个元素 a[j] 插入到这两个元素之间，那么它会将这两个差值中较小的一个变为 a[j]-a[i]，因为 a[j] 要比 a[i+1] 更接近 a[i]。

因此，为了最大化相邻元素之间绝对差的总和，我们只需要按照上述方法将数组中的元素分成若干组，并且每组中的元素之差的最小值最大。

举例说明

假设原数组为 [1, 3, 9, 11]，按照上述方法将其分组，我们可以得到如下结果：

• 组1：[1, 3]，元素之差最小值为2
• 组2：[9, 11]，元素之差最小值为2

这样，取每组中的最小值之和即可得到最大化的相邻元素之间绝对差的总和：

abs(1-3) + abs(9-11) = 2 + 2 = 4

代码实现

下面是 Python 代码实现：

def maximize_adjacent_difference_sum(arr):
    sorted_arr = sorted(arr)
    groups = [sorted_arr[i:i+2] for i in range(0, len(sorted_arr), 2)]
    return sum(groups[i][1] - groups[i][0] for i in range(len(groups)))

性能分析

• 时间复杂度：排序数组的时间复杂度为 O(nlogn)，分组和求和的时间复杂度都是 O(n)，因此总时间复杂度为 O(nlogn)。
• 空间复杂度：需要额外存储排序后的数组和分组数据，因此空间复杂度为 O(n)。

总结

本文介绍了一种用总和 K 最大化数组中相邻元素之间绝对差的总和的算法。该算法采用了贪心策略，通过将数组中的元素排序并分组来实现。该算法的时间复杂度是 O(nlogn)，空间复杂度是 O(n)。