通过最大化所选元素的总和将给定的 Array 减少为 0

介绍

这个问题可以被简化为一个背包问题：给定一组数字，尽可能地选择其中的数字，使它们的总和等于 0。

我们可以将其视为一个背包问题，选出尽可能多的数字，使它们的和等于 0。因为每个数字可以选择或不选择，因此这是一个 0/1 背包问题。

具体算法将在后续章节中介绍。

实现

算法

以下是通过动态规划解决 0/1 背包问题（即将数组求和转换为减小其子集和）的通用算法：

1. 初始化一个数组 dp，其中 dp[j] 表示能否从子集中选择若干个数字使其总和等于 j。

2. 将 dp[0] 初始化为 true，因为可以从空集开始构造子集，其总和为 0。

3. 遍历每个数字 num，并对于每个可用的子集和 j，更新 dp[j - num]。

4. 如果最终 dp[0] 为 true，则意味着可以通过选择若干个数字使得它们的总和等于 0。

代码

以下是实现上述算法的 Python 代码：

def can_sum_to_zero(nums: List[int]) -> bool:
    n = len(nums)
    dp = [False] * (sum(nums) + 1)
    dp[0] = True

    for i in range(n):
        for j in range(sum(nums), -1, -1):
            if j >= nums[i]:
                dp[j] |= dp[j - nums[i]]

    return dp[0]

时间复杂度

假设数组的长度为 n，则初始化数组 dp 需要 O(sum(nums)) 的时间。每个数字都需要遍历一次数组，因此总时间复杂度为 O(n * sum(nums))。

空间复杂度

算法的空间复杂度为 O(sum(nums))，因为需要一个数组来存储子集和是否可达。