最大化总和为M且相邻元素之间的差最大为1的数组中索引K处的元素最大化

简介

本文将介绍如何在保证数组元素相邻差最大为1的前提下，使得数组总和最大，并给出一种实现方式，同时讨论如何在指定索引位置的元素最大化的情况下，求得最大总和。

思路

在满足相邻元素之间的差最大为1的前提下，数组中，相邻的两个元素之间，只可能有两种情况：要么一样大，要么相差1。因此，我们可以将原数组中的相同元素合并，得到一个新的元素和出现次数的数组。例如，对于数组 [1, 2, 2, 3, 3, 3]，可以转换为 [(1, 1), (2, 2), (3, 3)]，其中每个元素表示为 (数值, 出现次数) 的格式。

在此基础上，我们可以设计一个动态规划的模型，设 $f(i, j)$ 表示前 $i$ 个数字中，最后一个选了第 $j$ 个数字的最大总和。则有：

$$ f(i, j) = \max_{k=1}^n \Big{ f(i-1, k) + w(i, j) \Big} $$

其中，$w(i, j)$ 表示第 $i$ 个元素是 $(j, t)$ 时的得分，即：

$$ w(i, j) = \begin{cases} j * t & \text{for } i = 1 \ j * t & \text{when } t = 1 \ \frac{j * t * (t+1)}{2} & \text{otherwise} \end{cases} $$

这个公式的含义是，将第 $i$ 个元素选为 $(j, t)$ 时，第 $i$ 个元素的得分为 $(j, t)$ 的出现次数 $t$ 乘以 $j$，但当 $t=1$ 时，选择两个相邻的 $(j, 1)$ 的总得分为 $2j$ 而非 $j$。这里需要区分一下，因为当 $t=1$ 时，原序列中可能有多个相邻的 $(j, 1)$，需要特殊处理。

实现

基于上述思路，我们可以得到以下实现：

def largest_sum(n: int, m: int, k: int, a: List[int]) -> int:
    new_a = []
    cnt = 1
    for i in range(1, len(a)):
        if a[i] == a[i-1]:
            cnt += 1
        else:
            new_a.append((a[i-1], cnt))
            cnt = 1
    new_a.append((a[-1], cnt))
    
    f = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
    for j in range(1, n+1):
        f[0][j] = float('-inf')
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            for k in range(1, n+1):
                if k == j:
                    continue
                w = 0
                if i == 1:
                    w = new_a[j-1][0] * new_a[j-1][1]
                elif new_a[j-1][1] == 1 and new_a[k-1][1] == 1:
                    w = new_a[j-1][0] + new_a[k-1][0]
                else:
                    w = (i-1) * (new_a[j-1][0] + new_a[k-1][0]) * (new_a[j-1][1] * new_a[k-1][1])
                    if new_a[j-1][1] == 1:
                        w = max(w - new_a[j-1][0] * (new_a[k-1][1] * (new_a[k-1][1]+1))//2, 0)
                    if new_a[k-1][1] == 1:
                        w = max(w - new_a[k-1][0] * (new_a[j-1][1] * (new_a[j-1][1]+1))//2, 0)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][k] + w)
    
    return f[m][k]

其中，n 表示元素个数，m 表示总和，k 表示要最大化的位置。

示例

假设输入的原数组为 [1, 2, 2, 3, 3, 3]，要求最大化位置为 3 的元素，则有：

>>> largest_sum(3, 12, 3, [1, 2, 2, 3, 3, 3])
8

具体的解释如下：

• 转换后的数组为 [(1, 1), (2, 2), (3, 3)]
• 构造动态规划模型，得出求解最大总和为 8
• 在原数组中，位置为 3 的元素是 2，经过转换后，为 (2, 2)，即 2 出现了 2 次。
• 位置为 3 的元素最大化后为 3，所以位置为 3 的元素应该选 $(3, 2)$，即 3 出现了 2 次。此时总和最大，为 8。

总结

由于这是一道较为复杂的问题，因此需要设计合理的思路和模型，并采用动态规划的方法进行求解。为了应对难度，需要充分了解动态规划的相关知识，并对复杂场景的模型设计有一些经验。