构建DFA以接受包含“ i”次“ 01”和“ 2j次” 1”的二进制字符串

一个确定有限状态自动机 (DFA) 是由一个有限集合 (称为状态集)，一个输入字母表，一个转移函数，一个初始状态和零个或多个接受状态组成的五元组。 DFA 不是必须是有穷自动机的特有类型，因为其状态集可以是无限的，只要其输入字母表是有限的。

本次构建的DFA可以接受一种特定的二进制字符串，该字符串中包含“i”次“01”和“2j次”1。例如，当 i = 2 时，字符串可能包括 0101 或 01010101，当 j = 3 时，字符串可能包括 1111001 或 1111110001。现在我们将按照以下步骤构建该DFA。

步骤1: 确定状态集

在本例中，状态集S包含i个状态和2j个状态。

S = {s0, s1, ..., si-1, t0, t1, ..., t2j-1}

其中，si-1表示已经包含 i 个01对的状态，而t2j-1表示已经有 2j 个1的状态。（起始状态为s0。）

步骤2: 确定输入字母表

在本例中，二进制输入字母表Σ将仅包含 0 和 1。

Σ = {0, 1}

步骤3: 确定转移函数

在本例中，转移函数δ将描述如何从一个状态转移到另一个状态。

δ: S × Σ → S

在其实状态s0中，输入0将保持在当前状态，输入1将会从 s0 转移至 t0。 对于任何状态si，输入0将使其从si+1，而输入1将使其从 si 转移至 ti。

此外，对于任何状态ti，输入 1 将仍使其停留在 ti。

步骤4: 确定接受状态

在本例中，仅有状态si-1是接受状态。

F = {si-1}

步骤5: 根据以上所有规则绘制DFA图表

下图是i = 2和j = 3的二进制字符串DFA的图表。

```mermaid
graph TD;
   s0-->s1;
   s1-->s2;
   s2-->t0;
   s2-->s3;
   s3-->t1;
   t1-->t2;
   t2-->t3;
   t3-->t4;
   t4((Ti));
   s1-->t0;
   s3-->t0;
   t0((T0));
   s0((S0));
   s4((Si-1));
   s2-->s4;
   s4-->s5;
   s5-->t5;
   t5-->t6;
   t6-->t7;
   t7((T2j-1));
```