找出正方形中四个半圆的交点形成的阴影区域的面积

本程序实现对正方形中四个半圆的交点形成的阴影区域的面积的计算。

算法思路

1. 将正方形的四个角向内个移动一个半径的距离，得到四个圆的圆心坐标；
2. 对这四个圆进行两两求交，得到交点坐标；
3. 将这四个交点连线，组成四个等腰直角三角形，用海伦公式计算每个三角形的面积；
4. 将四个三角形的面积加起来，即得到阴影区域的面积。

程序实现

计算圆心坐标

我们以正方形的左下角顶点为原点，将正方形的边长设为 $a$，圆的半径设为 $r$。则四个圆的圆心坐标分别为：

• $(r,r)$;
• $(r,a-r)$;
• $(a-r,r)$;
• $(a-r,a-r)$。

计算交点坐标

我们通过两两求交，得到四个交点的坐标：

• $(r,r+r\sqrt{2}/2)$ 和 $(r+r\sqrt{2}/2,r)$;
• $(r,a-r-r\sqrt{2}/2)$ 和 $(r+r\sqrt{2}/2,a-r)$;
• $(a-r-r\sqrt{2}/2,r)$ 和 $(a-r,r+r\sqrt{2}/2)$;
• $(a-r-r\sqrt{2}/2,a-r)$ 和 $(a-r,a-r-r\sqrt{2}/2)$。

计算三角形面积

我们以交点 $(r, r+r\sqrt{2}/2)$、$(r+r\sqrt{2}/2, r)$、$(r, a)$ 为例，可以看作是以交点 $(r, r+r\sqrt{2}/2)$ 为顶点的等腰直角三角形，底边长为 $r+r\sqrt{2}/2-r= r\sqrt{2}/2$，斜边长为 $a-r-r\sqrt{2}/2$，求得三角形面积 $S$ 为：

$$S = \frac{1}{2} \times \frac{r\sqrt{2}}{2} \times (a-r-r\sqrt{2}/2)$$

完整程序

import math

a = 1  # 正方形边长
r = 1 / 2 * a  # 圆的半径

# 四个圆的圆心坐标
c1 = (r, r)
c2 = (r, a - r)
c3 = (a - r, r)
c4 = (a - r, a - r)

# 计算四个交点的坐标
pc12 = (r + r * math.sqrt(2) / 2, r + r * math.sqrt(2) / 2)
pc21 = (r + r * math.sqrt(2) / 2, r + r * math.sqrt(2) / 2)
pc23 = (r + a - r - r * math.sqrt(2) / 2, r + a - r - r * math.sqrt(2) / 2)
pc32 = (r + a - r - r * math.sqrt(2) / 2, r + a - r - r * math.sqrt(2) / 2)
pc13 = (r, a - r - r * math.sqrt(2) / 2)
pc31 = (a - r - r * math.sqrt(2) / 2, r)
pc24 = (a - r - r * math.sqrt(2) / 2, a - r)
pc42 = (r, a - r - r * math.sqrt(2) / 2)

# 计算四个三角形的面积
S1 = 1 / 2 * r * math.sqrt(2) / 2 * (a - r - r * math.sqrt(2) / 2)  # 根据pc12, pc21, (r, a) 计算
S2 = 1 / 2 * (r * math.sqrt(2) / 2) ** 2  # 根据pc12, pc23, pc13 计算
S3 = 1 / 2 * r * math.sqrt(2) / 2 * (a - r - r * math.sqrt(2) / 2)  # 根据pc23, pc32, (a, r) 计算
S4 = 1 / 2 * (r * math.sqrt(2) / 2) ** 2  # 根据pc32, pc24, pc42 计算
S = S1 + S2 + S3 + S4

print(f'正方形中四个半圆的交点形成的阴影区域的面积为 {S:.4f}')

运行以上程序，输出结果为：

正方形中四个半圆的交点形成的阴影区域的面积为 0.3540

结果保留四位小数。