重复连接中点形成的正方形面积

本文介绍如何通过给定的坐标点列表，计算重复连接中点形成的正方形面积。这是一个常见的几何问题。

问题描述

问题描述如下：给定 $n$ 个二维平面上的点，从中选出两个点 $p_i$ 和 $p_j$ 连接，如果有多组不同的连接组成了一条线段，则每个中点只计算一次，求所有正方形的面积之和。

例如，在下图中，有四个点坐标为 $(1,1)$，$(1,3)$，$(3,1)$，$(3,3)$。它们的所有正方形面积之和为 $20$。

解法

这道题的解法是首先对所有点求出两两之间的中点，然后对所有可能的正方形进行判断，最后求和。

根据中心点求四个角点的解法

对于一个正方形，它的中心点坐标可以通过两个顶点的坐标 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 计算出来：$(x_c, y_c) = (\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2})$。

由此，我们可以根据中心点计算出四个角点的坐标：$A(x_c-\dfrac{a}{2}, y_c-\dfrac{a}{2})$，$B(x_c-\dfrac{a}{2}, y_c+\dfrac{a}{2})$，$C(x_c+\dfrac{a}{2}, y_c-\dfrac{a}{2})$，$D(x_c+\dfrac{a}{2}, y_c+\dfrac{a}{2})$。其中 $a$ 为正方形的边长。

由于正方形有四个角，因此我们需要判断四个角点是否都在给定的点集中。如果四个角点均在点集中，说明该正方形存在，否则不存在。如果该正方形存在，则可以通过两个顶点的坐标计算出它的面积。

以上是在求所有可能的正方形之前的预处理过程。

求所有可能的正方形

在求所有可能的正方形时，我们需要枚举所有两个中点之间的距离作为正方形的边长 $a$。

接着，我们需要枚举所有的中心点，使用上述方法计算出四个角点，判断它是否在给定的点集当中。如果在，则将该正方形的面积加入到总面积中。

总面积即为所有正方形的面积之和。

实现

以下是 Python 代码实现的一个示例，使用了上述的解法。

def square_area(points):
    def midpoint(a, b):
        return ((a[0] + b[0]) / 2, (a[1] + b[1]) / 2)

    def distance(a, b):
        return ((a[0] - b[0]) ** 2 + (a[1] - b[1]) ** 2) ** 0.5

    point_set = set(points)
    area = 0

    for i in range(len(points)):
        for j in range(i+1, len(points)):
            mid = midpoint(points[i], points[j])
            d = distance(points[i], points[j])
            for signa, signb in ((1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)):
                corner = (mid[0] + signa * d / 2, mid[1] + signb * d / 2)
                if corner not in point_set:
                    break
            else:
                area += d ** 2

    return area

以上代码使用了 Python 的函数式编程方式，定义了一个 midpoint 函数用于计算两个点之间的中点，定义了一个 distance 函数用于计算两个点之间的距离。

对于给定的点集 points，使用 set 将其转化为一个集合 point_set，方便后续的查找。

接着，对于所有的点对 $(i, j)$，使用 midpoint 函数计算出中心点 mid 和距离 d。

接下来，对于中心点 mid 和距离 d，枚举四个角点，判断是否都在 point_set 中，是的话就将面积加入到 area 中。

最后返回 area 即为所有可能的正方形的面积之和。

总结

本文介绍了如何通过给定的坐标点列表，计算重复连接中点形成的正方形面积。细节上有许多需要注意的地方，需要手动枚举正方形的所有可能位置，判断角点是否在给定点集中等等。此外，中心点可以是奇数个点形成的任意角形的任意中心点，可以扩展到计算所有可能的多边形面积之和。

总体来说，这是一个有趣但需要仔细思考的几何问题。