求正方形中四个半圆相交形成的阴影区域的面积

问题描述

在平面直角坐标系中，有一个边长为 $a$ 的正方形 $ABCD$，其四个顶点坐标分别为 $A(0,0)$、$B(0,a)$、$C(a,a)$ 和 $D(a,0)$。现在在正方形的四条边的中心点处分别画了四个相同大小，半径为 $r$ 的圆弧，四个半圆相互交错，如下图所示。

问：正方形中四个半圆相交形成的阴影部分的面积是多少？

解题思路

这道题虽然看上去似乎有点难，但只要我们采用一定的计算方法，就能够快速求出答案。

首先，我们发现四个半圆在正方形中分割出了八个扇形：

那么要求出阴影部分的面积，实际上就是要用正方形的面积减去这八个扇形的面积之和：

$S_{阴影} = S_{正方形} - \sum\limits_{i=1}^{8}S_{i}$

下面我们只需要求出每个扇形的面积，然后进行求和，再减去正方形的面积，就能得到阴影部分的面积了。

对于一个半圆所在的扇形，它的面积可以通过以下公式计算：

$S = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\pi}{2}\times r^2 = \dfrac{\pi}{4}\times r^2$

有了这个公式，我们就可以快速求出每个扇形的面积了。然后将这些面积相加，再减去正方形的面积，就得到了最终的答案。

代码实现

import math

def shadow_area(a, r):
    """求正方形中四个半圆相交形成的阴影部分的面积

    参数：
    a: int，正方形的边长
    r: int，半圆的半径

    返回：
    float，阴影部分的面积
    """
    square_area = a ** 2  # 计算正方形的面积
    sector_area = 8 * math.pi * r ** 2 / 4  # 计算扇形的面积
    shadow_area = square_area - sector_area  # 计算阴影部分的面积
    return shadow_area

返回的结果应该按 markdown 格式标明，如下：

计算正方形中四个半圆相交形成的阴影部分的面积的函数如下：

```python
import math

def shadow_area(a, r):
    """求正方形中四个半圆相交形成的阴影部分的面积

    参数：
    a: int，正方形的边长
    r: int，半圆的半径

    返回：
    float，阴影部分的面积
    """
    square_area = a ** 2  # 计算正方形的面积
    sector_area = 8 * math.pi * r ** 2 / 4  # 计算扇形的面积
    shadow_area = square_area - sector_area  # 计算阴影部分的面积
    return shadow_area

其中，参数 a 表示正方形的边长，参数 r 表示半圆的半径。函数返回一个 float 型数据，表示阴影部分的面积。