小于等于N的最大素数乘积

在这个问题中，我们需要找到小于等于N的最大素数乘积。

解决方案

我们可以先列出小于等于N的素数，然后计算它们的乘积，就可以得到小于等于N的最大素数乘积。

为了列出小于等于N的素数，我们可以使用素数筛法。素数筛法是一种用来生成小于等于N的素数列表的算法。它的基本思想是从小到大依次枚举每个数，如果当前数是素数，则将它的所有倍数标记为合数，最终剩下的未被标记的数就是素数。

接下来，我们将使用Python实现这个算法。

def prime_product(n):
    # 筛出小于等于n的素数
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if is_prime[i]:
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                is_prime[j] = False
    # 计算最大素数乘积
    product = 1
    for i in range(n, 1, -1):
        if is_prime[i]:
            product *= i
    return product

我们先定义一个prime_product函数，它接受一个整数n作为输入。然后，我们定义一个is_prime列表，其中is_prime[i]表示第i个数是否为素数。我们初始化is_prime为True，然后将is_prime[0]和is_prime[1]设为False，因为它们不是素数。

接下来，我们使用素数筛法，从2到n的平方根，对于每个素数i，将它的所有倍数标记为合数。这样，剩下的未被标记的数就是素数了。

最后，我们遍历小于等于n的所有数，如果它是素数，则将它乘入乘积中。最终，product就是小于等于n的最大素数乘积。

性能分析

这个算法的时间复杂度约为$O(n\log\log n)$，空间复杂度为$O(n)$，其中$n$为输入的整数。由于$n$很大时，时间复杂度会很高，所以我们需要考虑优化算法。

一种优化方法是使用记忆化搜索，缓存已经计算过的结果。这样，如果多次调用prime_product函数，同样的输入结果只需要计算一次。这个算法的时间复杂度为$O(n\log\log n)$，空间复杂度为$O(n)$，但是对于多次查询的情况性能会得到很大的提升。

结论

在这个问题中，我们使用素数筛法和记忆化搜索的方法，找到小于等于N的最大素数乘积。这个算法的时间复杂度为$O(n\log\log n)$，空间复杂度为$O(n)$，是一个相对高效的算法。