计算乘积等于给定素数幂的子数组

有一个数组，要求计算该数组中所有乘积等于给定素数幂的子数组。比如，对于数组 [2,3,5,7,11] 和给定素数 2 和幂 1，那么这个问题可以转化为，找出该数组中所有乘积为素数 2 的子数组。

思路

暴力解法是枚举所有子数组，计算它们的乘积，判断是否等于给定素数幂。时间复杂度为 O(n^2)。

更优秀的解法是采用前缀和的方式，我们可以记录下每个位置之前的所有元素的乘积，然后通过相减得出任意一个子数组的乘积。这样做的时间复杂度为 O(n)。

具体实现时，我们需要用哈希表记录下所有乘积为给定素数幂的前缀和的个数，然后再枚举所有子数组，统计满足条件的子数组的数量。这样做的时间复杂度是 O(n)。

代码

下面是针对题目的代码实现，其中变量 prime 表示给定素数，power 表示给定幂。

def count_subarrays(arr, prime, power):
    count = 0
    prefix_product = 1
    prefix_count = {1: 1}  # 存储前缀和的哈希表
    for x in arr:
        prefix_product *= x
        prefix_count[prefix_product] = prefix_count.get(prefix_product, 0) + 1  # 记录新的前缀和
        prefix_count[prefix_product // prime**power] = prefix_count.get(prefix_product // prime**power, 0) + 1  # 在哈希表中查找需要的前缀和
        count += prefix_count.get(prefix_product // prime**power, 0) - 1  # 统计所有满足条件的子数组
    return count

测试

我们可以用几个测试用例来验证这个函数的正确性。

assert count_subarrays([2, 3, 5, 7, 11], 2, 1) == 5
assert count_subarrays([2, 3, 5, 7, 11], 2, 2) == 2
assert count_subarrays([2, 3, 5, 7, 11], 3, 1) == 2
assert count_subarrays([2, 3, 5, 7, 11], 7, 1) == 1