数组中最长幂数子序列的长度介绍

简介

最长幂数子序列(Longest Power Subsequence)是指给定一个数组，找出其中最长的子序列，使得这个子序列中的元素可以表示成 $a^k$ 的形式，其中 $a$ 是一个正整数，$k$ 是一个非负整数。例如，对于数组 [1, 2, 3, 5, 16, 25, 64]，其中最长的幂数字序列为 [1, 16, 64]，长度为3。

思路

将最长幂数字序列转化为最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence），即先将数组中的每个数转化为 $log_2$ 后的值，因为幂数字序列中，如果 $a^k$ 比 $b^l$ 长，则 $a>b$，所以可以通过将每个数 $a$ 转化为 $log_2(a)$ 后，再求最长上升子序列即可。

代码

def longest_power_subsequence(nums):
    def binary_search(tails, l, r, x):
        while l < r:
            m = l + (r - l) // 2
            if tails[m] < x:
                l = m + 1
            else:
                r = m
        return l

    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    tails = [0] * n
    tails[0] = nums[0]
    res = 1

    for i in range(1, n):
        x = int(math.log2(nums[i]))
        idx = binary_search(tails, 0, res, x)
        tails[idx] = x
        if idx == res:
            res += 1
        dp[i] = idx + 1

    return max(dp)

代码中，我们先定义了一个 binary_search 函数，用于查找一个元素在 tails 中的插入位置，这里使用了二分搜索算法。接着，我们定义了 n、dp、tails、res 四个变量。n 表示数组的长度，dp 表示以 nums[i] 结尾的最长上升子序列的长度，tails 用于存储最长上升子序列序列中各元素的最小值，res 表示最长上升子序列的长度。在算法中，我们使用动态规划来求解最长上升子序列问题，并且利用二分搜索来优化时间复杂度。