字符串中最长递增子序列的长度

在处理字符串序列时，常常需要寻找最长递增子序列的长度以解决一系列问题，如最长公共子序列，编辑距离等。

什么是最长递增子序列

最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，简称LIS）是指在一个序列中，选取其中的一些数字可以组成一个新的递增的序列，这个新序列的长度尽可能长。例如，序列[10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]的最长递增子序列为[2, 3, 7, 101]，其长度为4。

暴力解法

暴力解法即枚举所有可能的子序列，每次判断是否为递增子序列，记录最大长度。时间复杂度为O(2^n)，显然效率较低。

动态规划解法

动态规划是解决LIS问题的常用方法。该方法需要定义状态、状态转移方程、初始状态。具体实现如下：

定义状态：dp[i]表示以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度。

状态转移方程：要求dp[i]，需要枚举前面所有小于nums[i]的元素j，将dp[j]加1，然后取所有可能的dp[j]+1中的最大值即可。

初始状态：dp[0]=1。

最终结果为dp数组中的最大值。

下面是具体的代码实现：

def lengthOfLIS(nums: List[int]) -> int:
    if not nums:
        return 0
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[i] > nums[j]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。

二分查找优化

以上动态规划的解法中，对于每个元素i，需要枚举前面所有小于nums[i]的元素j，时间复杂度为O(n)。可以利用二分查找将时间复杂度优化到O(logn)。

具体实现如下：

定义状态：tails[i]表示长度为i+1的递增子序列最后一个元素的最小值。

状态转移方程：对于nums[i]，如果其大于tails中的所有元素，将其插入tails末尾；否则，在tails中查找大于或等于nums[i]的第一个元素，并用nums[i]替换之。

初始状态：tails=[nums[0]]。

最终结果为tails数组的长度。

以下是代码实现：

def lengthOfLIS(nums: List[int]) -> int:
    if not nums:
        return 0
    tails = [nums[0]]
    for i in range(1, len(nums)):
        if nums[i] > tails[-1]:
            tails.append(nums[i])
        else:
            l, r = 0, len(tails) - 1
            while l < r:
                mid = l + (r - l) // 2
                if tails[mid] >= nums[i]:
                    r = mid
                else:
                    l = mid + 1
            tails[l] = nums[i]
    return len(tails)

时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。

总结

本文介绍了解决字符串中最长递增子序列的长度问题的两种方法，暴力解法和动态规划解法，以及利用二分查找优化的动态规划解法。二分查找优化可以将时间复杂度优化到O(nlogn)。在实际应用中应优先选择优化后的算法。