不包含给定序列的最长递增子序列的长度

在一些算法问题中，需要寻找一个最长递增子序列。但是在有些情况下，需要寻找的递增子序列不能包含给定的某些数字。下面介绍一种算法，用于寻找不包含给定序列的最长递增子序列的长度。

算法流程

1. 定义动态规划数组dp，dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列中不包含给定序列的长度。
2. 初始化dp数组为1，因为每个元素本身就形成一个递增子序列，长度为1。
3. 从第二个元素开始遍历数组。设当前元素为nums[i]，遍历前面的元素nums[j]，如果nums[i]大于nums[j]且不在给定序列中，更新dp[i]的值。即dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)。
4. 最后，遍历dp数组，找到最大的一个值，即为不包含给定序列的最长递增子序列的长度。

代码实现

以下是算法的Python代码实现：

def longest_increasing_subsequence(nums, exclude):
    n = len(nums)
    dp = [1]*n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[i] > nums[j] and nums[i] not in exclude:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
    return max(dp)

# 示例
nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
exclude = [3, 5]
print(longest_increasing_subsequence(nums, exclude)) # output: 5

时间复杂度

由于算法使用了两重循环，因此时间复杂度为O(n^2)。

空间复杂度

使用了长度为n的dp数组，因此空间复杂度为O(n)。

参考资料

• 不包含某些数的最长递增子序列长度-算法基础课-kali-数据结构与算法之美 - Bilibili
• LeetCode 354. Russian Doll Envelopes - 题解 - 代码随想录