最大化给定数组中最长递增子序列的长度

问题描述

给定一个整数数组，找到其中最长的严格递增子序列的长度。

序列可以是原始数组的连续子序列，也可以是不连续的子序列，即在原始数组中按照顺序选取其中某些数字组成一个新的数组。

示例

给定数组 nums = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]，其中最长的严格递增子序列是 [2, 5, 7, 101]，因此输出为 4。

解法

动态规划

我们可以使用动态规划来解决本问题。

用 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长递增子序列的长度。我们需要在 0 ≤ j < i 的所有 dp[j] 中找到小于 dp[i] 的最大值（如果不存在小于 dp[i] 的 dp[j]，则令最大值为 0），并将其加1。这样得到的 dp[i] 即是以第 i 个元素为结尾的最长递增子序列的长度。

具体地，我们从左到右遍历给定的数组，随后对于每个位置 i，我们从右到左枚举在 i 之前的每个位置 j，如果满足 nums[j] < nums[i]，那么 nums[i] 可以接在 nums[j] 后面形成一个比当前 dp[i] 更长的递增子序列，即 dp[j] + 1 > dp[i]，此时更新 dp[i] = dp[j] + 1。

最终，所有 dp[i] 中的最大值即为所求答案。

代码实现

def length_of_lis(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    if n < 2:
        return n
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

时间复杂度：$O(n^2)$，其中 $n$ 为数组的长度。

总结

本文介绍了最大化给定数组中最长递增子序列的长度问题，并给出了使用动态规划解决此问题的代码实现。该问题是经典的 LIS（Longest Increasing Subsequence）问题，也是一类动态规划问题的模板。