最长平衡子序列的长度

平衡字符串是指具有相同数量的左括号和右括号的字符串。例如，"I am (so) happy!"、"())("、"(())()"都是平衡字符串，而"hello world"、")("不是。平衡子序列是指平衡字符串中的连续子序列。

本篇文章将介绍如何求出一个平衡字符串中最长平衡子序列的长度。

解法1：栈

我们可以遍历字符串，每当遇到一个左括号就将其压入栈中，每当遇到一个右括号就将其弹出栈。在弹出栈的过程中，我们可以将弹出的左括号和右括号的下标相减，得到一个子序列的长度。我们记录下所有子序列的长度，并返回其中的最大值。

代码实现：

def max_balanced_subsequence_length(s: str) -> int:
    stack = []
    max_length = 0
    for i, c in enumerate(s):
        if c == "(":
            stack.append(i)
        elif c == ")":
            if stack:
                j = stack.pop()
                max_length = max(max_length, i - j + 1)
            else:
                stack = []
    return max_length

解法2：动态规划

我们可以用动态规划来解决这个问题。我们定义dp[i]表示以第i个字符结尾的最长平衡子序列的长度。

如果s[i]是左括号，那么以它结尾的最长平衡子序列的长度一定是0，因为任何以左括号结尾的子序列都不会是平衡的。

如果s[i]是右括号，那么以它结尾的最长平衡子序列的长度可以分为两种情况：

1. 如果s[i-1]是左括号，那么dp[i] = dp[i-2] + 2。
2. 如果s[i-1]是右括号，那么我们需要找到与当前右括号匹配的左括号，即s[i-dp[i-1]-1]是否为左括号。如果是左括号，那么dp[i] = dp[i-1] + 2 + dp[i-dp[i-1]-2]；否则dp[i]=0。

代码实现：

def max_balanced_subsequence_length(s: str) -> int:
    n = len(s)
    dp = [0] * n
    max_length = 0
    for i in range(1, n):
        if s[i] == ")":
            if s[i-1] == "(":
                dp[i] = dp[i-2] + 2
            elif i-dp[i-1]-1 >= 0 and s[i-dp[i-1]-1] == "(":
                dp[i] = dp[i-1] + 2 + dp[i-dp[i-1]-2]
        max_length = max(max_length, dp[i])
    return max_length

总结

以上就是求解最长平衡子序列的两种方法。栈的方法时间复杂度为O(n)，而动态规划的方法时间复杂度为O(n)，空间复杂度也为O(n)。对于这个问题，动态规划显然是更为优秀的解法。

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