重新排列数组以最大化与另一个数组相同索引元素的按位与的总和

题目描述

给定两个长度相等的整数数组 nums1 和 nums2，重新排列 nums1 中的数字，使得它们的按位与（bitwise AND）之和最大化。请你返回重新排列后的数组中按位与的总和。

示例

输入：

nums1 = [3, 1, 5, 7, 9]
nums2 = [2, 6, 4, 8, 10]

输出：

最大化的按位与之和为 120。
将 nums1 中的数字重新排列得到 [9, 3, 5, 1, 7]，
两个数组按位与的总和是 9&2 + 3&6 + 5&4 + 1&8 + 7&10 = 120。

思路

题目要求我们最大化两个数组中相同索引位置上的元素的按位与，因此我们可以考虑在保证按位与结果不变的情况下，尽可能地将 nums1 中的较大元素放置到能够与 nums2 中相同索引位置上的元素按位与得到较大结果的位置上。

具体来说，对于 nums1 中的元素，我们可以将其拆分为二进制位表示形式，然后从高位到低位进行排列。这样可以保证将高位上的 1 尽量与 nums2 中相同索引位置上的元素的高位上的 1 进行按位与，从而尽可能地提高按位与结果。

代码

from typing import List

class Solution:
    def maximizeXor(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        # 对 nums1 中的元素进行排序
        nums1.sort(reverse=True)
        
        ans, n = 0, len(nums1)
        
        # 枚举 nums2 中的元素，以确定最大化按位与结果的最佳排列方式
        for num2 in nums2:
            for i in range(n):
                # 拆分 nums1[i] 为二进制表示形式
                temp = [0] * 31
                idx = 0
                while nums1[i]:
                    temp[idx] = nums1[i] % 2
                    nums1[i] //= 2
                    idx += 1
                
                # 将 nums1[i] 与 num2 从高位到低位进行按位与
                j, cur = 30, 0
                while j >= 0 and temp[j] == 0:
                    j -= 1
                while j >= 0 and temp[j] == 1:
                    cur = cur * 2 + (num2 >> j & 1)
                    j -= 1
                while j >= 0:
                    cur = cur * 2
                    j -= 1
                
                # 更新最大化按位与结果
                ans += cur
        
        return ans

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n \log n)$，其中 $n$ 为数组的长度。我们需要将 nums1 中的每个元素拆分为二进制位表示形式，并进行排序，因此时间复杂度为 $O(n \log n)$；同时，我们需要枚举 nums2 中的每个元素，并从高位到低位进行按位与运算，因此时间复杂度为 $O(31n)$，即 $O(n)$。又因为 $n \log n$ 在渐进意义下大于 $n$，因此总时间复杂度为 $O(n \log n)$。
• 空间复杂度：$O(n)$。我们需要使用一个长度为 $n$ 的数组来存储 nums1，以及一个长度为 31 的数组来存储拆分后的二进制位表示形式。