重新排列数组以最大化局部最小值的数量

问题背景

假设有一个长度为 n 的整数数组 nums，请重新排列 nums，使得相邻元素之间的差的绝对值的最小值最大化。在这里，相邻元素之间的差的绝对值是指 |nums[i] - nums[i+1]|。

例如，如果 nums = [1,2,3,4,5]，则可以将其重新排序为 [1,3,5,2,4]，使得相邻元素之间的差的绝对值的最小值为 2。

解法思路

本题可以使用二分答案算法来解决。具体地，我们二分可能的答案 x，然后判断是否存在一种重排 nums 的方法，使得 nums 中任意相邻两个元素的差的绝对值都不大于 x。为了方便判断，在枚举任意两个相邻的元素 nums[i−1] 和 nums[i] 时，我们不妨将其权值赋为 x，即 nums[i−1]=nums[i]+x。这样，问题转化为了：是否存在一种重排 nums 的方法，使得对于任意的 0≤i<n−1，都有 nums[i]≤nums[i+1]。我们可以使用贪心的思想：如果当前还没有考虑的元素中存在元素可以放在 nums[len(nums)-1] 的左边，则应该优先考虑这个元素，因为这样做可以最大化最后一个元素和它前面的元素的差的绝对值。因此，我们可以将 nums 升序排序，再按照上述方法重排。

算法步骤

1. 将 nums 升序排序
2. 定义 left = 0, right = max(nums) - min(nums)，即二分答案的左右边界
3. while left < right，进行二分答案：
   1. 取 mid = (left + right + 1) // 2
   2. 判断是否存在一种重排 nums 的方法，使得 nums 中任意相邻两个元素的差的绝对值都不大于 mid
      • 将 nums 重排，并用重排后的 nums 比较
   3. 若存在，则 left = mid
   4. 若不存在，则 right = mid - 1
4. 返回 left，即为最终答案

算法实现

def rearrange_array(nums):
    # 将 nums 升序排序
    nums.sort()

    # 二分答案
    left, right = 0, max(nums) - min(nums)
    while left < right:
        mid = (left + right + 1) // 2
        if can_rearrange(nums, mid):
            left = mid
        else:
            right = mid - 1

    return left
    

def can_rearrange(nums, diff):
    # 将 nums 重排，并用重排后的 nums 比较
    n = len(nums)
    arr = [0] * n
    i, j = 0, n - 1
    for k in range(n):
        if k % 2 == 0:
            arr[k] = nums[i]
            i += 1
        else:
            arr[k] = nums[j] + diff
            j -= 1
    
    for k in range(1, n):
        if arr[k] - arr[k-1] > diff:
            return False
    
    return True

参考文献

• LeetCode 题目链接
• 算法实现参考
• 二分答案算法详解