重新排列数组以最大化局部最小值的数量

有一个长度为 n 的数组 a，我们需要通过重排列这个数组，来最大化区间 [l, r] 中的最小值，其中 1 <= l <= r <= n。

例如，如果 a = [1, 2, 3, 4, 5]，那么当 l = 2, r = 4 时，区间 [2, 4] 中的最小值为 2。我们可以通过重排列数组使得原数组变为 [1, 5, 3, 4, 2]，这样区间 [2, 4] 中的最小值就变成了 3。

本题的难点在于如何通过重排列数组来最大化区间的最小值。接下来我们将介绍两种解法，分别是贪心算法和二分查找算法。

解法一：贪心算法

首先我们需要明确一个贪心策略：将数组从小到大排序后，每个元素尽可能地往前移动，直到当前元素与左侧第一个比它小的元素之间的距离等于当前元素与右侧第一个比它小的元素之间的距离。

具体实现时，我们可以使用两个数组 left 和 right，分别记录每个位置左侧第一个比它小的元素和右侧第一个比它小的元素的位置。排序后，我们从大到小遍历数组，设当前位置为 i，左侧和右侧的比 i 小的元素位置分别为 Left 和 Right，那么我们将 a[i] 移动到 Left 和 Right 之间较近的那个位置上。

下面是该算法的 Python 实现代码：

def maximize_local_min(a):
    n = len(a)
    left = [-1] * n
    right = [n] * n
    stack = []
    for i in range(n):
        while stack and a[stack[-1]] >= a[i]:
            stack.pop()
        if stack:
            left[i] = stack[-1]
        stack.append(i)
    stack = []
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        while stack and a[stack[-1]] >= a[i]:
            stack.pop()
        if stack:
            right[i] = stack[-1]
        stack.append(i)
    b = sorted(range(n), key=lambda i: a[i])
    res = 0
    for i in b:
        l, r = left[i], right[i]
        if l != -1:
            d = min(i - l, r - i)
        else:
            d = r - i
        res = max(res, d)
        if d == i - l:
            a[l+1:i+1] = a[l:i]
            a[l] = a[i]
            left[i] = l + 1
        else:
            a[i:r] = a[i+1:r+1]
            a[r-1] = a[i]
            right[i] = r - 1
    return res

该算法的时间复杂度为 O(nlogn)，其中排序的复杂度为 O(nlogn)，计算 left 和 right 数组的复杂度为 O(n)，遍历 b 的复杂度为 O(n)，内部循环每个元素仅会被访问一次，因此时间复杂度为 O(n)。

具体实现细节请见代码注释。

解法二：二分查找算法

二分查找算法的思路比较简单：我们可以先猜测答案是多少，然后判断是否可行。

具体实现时，我们可以二分答案 x，然后检查是否存在一个连续的区间，其长度不小于 x，且区间内所有元素都不小于 x。这可以通过遍历数组求最长连续区间的方法来实现（参见最长连续递增序列问题）。

下面是该算法的 Python 实现代码：

def maximize_local_min(a):
    l, r = 1, max(a)
    def check(x):
        cnt = 0
        for i in a:
            if i >= x:
                cnt += 1
            else:
                cnt = 0
            if cnt >= x:
                return True
        return False
    while l <= r:
        mid = (l + r) // 2
        if check(mid):
            l = mid + 1
        else:
            r = mid - 1
    return r

该算法的时间复杂度为 O(nlogk)，其中 k 为数组 a 的最大值，证明可以参考最长连续递增序列问题的证明。

具体实现细节请见代码注释。

小结

本文介绍了两种解法来最大化区间的最小值，分别是贪心算法和二分查找算法。其中，贪心算法的时间复杂度为 O(nlogn)，二分查找算法的时间复杂度为 O(nlogk)，其中 k 为数组 a 的最大值。两种算法的时间复杂度都是比较优秀的，因此可以在实际应用中使用。