两个1到N值数组之间的不同对和的计数

本文介绍的问题是如何计算两个1到N值的数组之间所有不同对的和。

问题描述

给定两个长度均为N的整数数组A和B，计算所有不同对(i, j)满足i∈[1,N], j∈[1,N]且Ai ≠ Bj的Ai和Bj的和的和。

解决方案

我们可以考虑把问题拆解成3个子问题：1）计算所有相同下标的数的和；2）计算所有不同下标并且Ai ≠ Bj的数的和；3）计算所有不同下标并且Ai = Bj的数的和。最终的结果就是三个子问题的和。

计算所有相同下标的数的和

这很简单，我们可以遍历数组A和数组B，如果下标相同，那么就把它们的和加到结果里面即可。

result = 0
for i in range(N):
    result += A[i] + B[i] if A[i] == B[i] else 0

计算所有不同下标并且Ai ≠ Bj的数的和

我们可以使用两个for循环，枚举所有的不同下标并且若Ai ≠ Bj，就将它们的和加到结果里面。

for i in range(N):
    for j in range(N):
        if i != j and A[i] != B[j]:
            result += A[i] + B[j]

计算所有不同下标并且Ai = Bj的数的和

可以使用一个计数器来解决，它用于记录相同的数的数量。然后将所有相同数的和乘以计数器即可。

count = 0
same_sum = 0
for i in range(N):
    if A[i] == B[i]:
        count += 1
        same_sum += A[i]
result += same_sum * count

性能

时间复杂度为O(N^2)，不过可以通过优化第二个子问题的算法，将时间复杂度降为O(N)。

count = [0]*(2*N)
same_sum = 0
for i in range(N):
    count[A[i]] += 1
    count[B[i]+N] += 1
    if A[i] == B[i]:
        same_sum += A[i]
for c in count:
    if c > 1:
        result += (c*(c-1)//2) * (N-same_count) * 2
result += same_sum * (N*(N-1)//2 - result//2)

总结

计算数组之间不同对的和问题，可以使用拆分成3个子问题来解决，并将它们的结果相加。这个问题的时间复杂度为O(N^2)，但是可以通过一些技巧将它降至O(N)。