两个不同数组的子数组的最大 OR 和

问题描述

给定两个整数数组 arr1 和 arr2，并且两个数组中的元素均为非负整数。你需要找到数量最多的、两个数组中都出现过的、连续子数组，并返回它们元素之和的最大值。

我们定义数组 a 和数组 b 的 OR 和为：a[i] | b[i] | a[i+1] | b[i+1] | ... | a[j] | b[j]（按位或运算）。比如说，[1,2,3,4] | [1,3,4,5] = 7，因为 1 | 1 = 1，2 | 3 = 3，3 | 4 = 7 以及 4 | 5 = 5。

解法

首先，让我们看看怎样计算一个数组中的任意两个子数组的 OR 和。

假设 arr 的长度为 n。我们可以使用前缀异或和来计算任意两个子数组的异或和。令 xor[i] = arr[0] ^ arr[1] ^ ... ^ arr[i]，则我们有：

arr[l] | arr[l+1] | ... | arr[r] = xor[r] ^ xor[l-1]

我们可以使用哈希表来找到两个数组中的两个子数组，使得它们的异或和相等。具体来说，我们可以将子数组的异或和和最右边的位置放入哈希表中。当我们处理数组 arr1 时，我们将子数组的哈希值和位置放入哈希表中。当我们处理数组 arr2 时，我们检查子数组的哈希值是否已经出现在 arr1 中，并计算出两个子数组的 OR 和。

代码实现

class Solution:
    def maxSum(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        def get_xor(nums):
            ans = [0]
            for num in nums:
                ans.append(ans[-1] ^ num)
            return ans
        
        xor1, xor2 = get_xor(nums1), get_xor(nums2)
        hash_map = {}
        for i, xor in enumerate(xor1):
            hash_map[xor] = i
        ans = 0
        cur1 = cur2 = 0
        for i, xor in enumerate(xor2):
            if xor in hash_map:
                j = hash_map[xor]
                ans += max(xor1[j+1]-cur1, xor2[i+1]-cur2)
                cur1, cur2 = xor1[j+1], xor2[i+1]
        ans += max(xor1[-1]-cur1, xor2[-1]-cur2)
        return ans % (10**9 + 7)

复杂度分析

时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 为两个数组的长度。

空间复杂度：$O(n)$，我们需要使用哈希表来存储异或和和最右边的位置。