不使用 OR 运算符的数组中一对的最大 OR 值

介绍

在编写程序时，我们经常会遇到需要查找数组中一对元素的最大 OR 值的情况。使用 OR 运算符可以很方便地解决这个问题，但如果不允许使用 OR 运算符，该如何解决呢？

一个暴力的解决方法是对数组中的每一对元素进行 OR 运算，找出其中最大的值。但这种方法的时间复杂度为 O(N^2)，很不高效。那么有没有更快的方法呢？答案是肯定的。

解决方法

我们可以使用位运算来模拟 OR 运算。假设我们要计算 a 和 b 的 OR 值。我们可以先将 a 和 b 分别转化为二进制表示。然后将它们对齐（长度不足的在高位补 0），从高位开始逐位进行位运算。

假设 a 和 b 对应的二进制表示分别为 A 和 B。对于任意一位 i，如果 A[i] 或者 B[i] 等于 1，那么 A[i] OR B[i] 就等于 1。如果 A[i] 和 B[i] 都等于 0，那么 A[i] OR B[i] 就等于 0。

根据上述规则，我们可以得到 a 和 b 的 OR 值。这个过程中没有使用 OR 运算符，只使用了位运算符和分支语句。

现在，我们需要找出数组中一对元素的最大 OR 值。我们可以依次遍历数组中的所有元素，对于每个元素，再依次遍历它之后的所有元素，计算它们的 OR 值，并记录最大的 OR 值。

这种做法的时间复杂度为 O(N^2)，不够高效。但我们可以做一些优化。既然我们要找最大的 OR 值，那么对于一个元素 a，我们只需要考虑它之后的所有元素中，二进制表示中任意一位上为 1 的元素即可。因为只有这些元素对于最大 OR 值是有贡献的。

因此，我们可以将数组中的所有元素按二进制表示中最高位为 1 的位数进行分组。最高位为 1 的位数相同的元素属于同一组。对于每组，我们只需要考虑前一组中比当前组最大元素的最高位为 1 的位数还要高的元素，以及当前组中所有元素。这样，我们就可以将时间复杂度优化到 O(NlogN)。

代码

以下是使用 Python 语言实现上述解决方法的代码（不包含时间复杂度优化的部分）：

def max_or_pair(nums):
    max_or = 0
    n = len(nums)
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            a, b = nums[i], nums[j]
            or_val = 0
            for k in range(31, -1, -1):
                if (a >> k) & 1 or (b >> k) & 1:
                    or_val |= 1 << k
            max_or = max(max_or, or_val)
    return max_or

其中，函数 max_or_pair 接受一个整数数组 nums 作为参数，返回数组中一对元素的最大 OR 值。时间复杂度为 O(N^2)。

我们可以通过在 for 循环中加入一些判断和条件语句，实现上述优化方法。

例如，我们可以将数组按最高位为 1 的位数进行分组：

groups = [[] for _ in range(32)]
for num in nums:
    group_idx = -1
    for k in range(31, -1, -1):
        if num >> k & 1:
            group_idx = k
            break
    groups[group_idx].append(num)

然后，对于每组，我们只需要考虑前一组中比当前组最大元素的最高位为 1 的位数还要高的元素，以及当前组中所有元素：

cur_max = 0
for i in range(31, -1, -1):
    if not groups[i]:
        continue
    cur_group = groups[i]
    cur_max <<= 1
    for num in cur_group:
        cur_max = max(cur_max, num)
    pre_max = cur_max >> 1
    for j in range(i-1, -1, -1):
        if not groups[j]:
            continue
        pre_group = groups[j]
        for num in pre_group:
            if num > pre_max:
                max_or = max(max_or, cur_max | num)
        break # 只需要找到第一个 j 非空的组
    max_or = max(max_or, cur_max)

完整的代码如下：

def max_or_pair(nums):
    max_or = 0
    n = len(nums)
    groups = [[] for _ in range(32)]
    for num in nums:
        group_idx = -1
        for k in range(31, -1, -1):
            if num >> k & 1:
                group_idx = k
                break
        groups[group_idx].append(num)
    cur_max = 0
    for i in range(31, -1, -1):
        if not groups[i]:
            continue
        cur_group = groups[i]
        cur_max <<= 1
        for num in cur_group:
            cur_max = max(cur_max, num)
        pre_max = cur_max >> 1
        for j in range(i-1, -1, -1):
            if not groups[j]:
                continue
            pre_group = groups[j]
            for num in pre_group:
                if num > pre_max:
                    max_or = max(max_or, cur_max | num)
            break # 只需要找到第一个 j 非空的组
        max_or = max(max_or, cur_max)
    return max_or

总结

在不允许使用 OR 运算符的情况下，我们可以使用位运算和分支语句来计算两个数的 OR 值。我们可以通过将数组中的元素按二进制表示中最高位为 1 的位数进行分组，然后依次计算每组的最大 OR 值，最终得到数组中一对元素的最大 OR 值。时间复杂度为 O(NlogN)。