两个数组 XOR 之间偶数设置位的计数

给定两个长度相同的非负整数数组 arr1 和 arr2，并且对于每一位，它们都恰好有一个位是1。现在定义 res 为两个数组之间 XOR 操作的结果。换句话说，res[i] = arr1[i] XOR arr2[i]，其中 XOR 表示按位异或运算。

假设 res 的二进制表示中有 k 个偶数设置位。你需要实现一个函数来计算 k。

思路

对于一个数字 n 和另一个数字 m，它们之间的 XOR 结果中仅有偶数位被设置的情况只有一种，就是 n 和 m 在偶数位上的值相同，且在奇数位上的值不同。例如，假设 n = 0101 且 m = 1100，那么它们的 XOR 结果 k = n XOR m = 1001 中，偶数位的值分别是 0、0、1、1，其中只有偶数位的值相同。

因此，我们可以将 arr1 和 arr2 中在偶数位上的值相同的数字对找出来，计算它们之间的贡献，最终得到 k。

具体而言，我们可以首先将 arr1 和 arr2 中在偶数位上的值分别提取出来，形成长度为 n 的数组 even1 和 even2。因为假设 res[i] = arr1[i] XOR arr2[i]，那么 res 中在偶数位上的值就是 even1[i] XOR even2[i]。因此，我们只需要统计 even1 和 even2 中在相同位置上值相同的数字对的个数 cnt，最终的答案就是 $\binom{cnt}{2}$，即 cnt 个数字中任选两个数字的组合数。

代码实现

以下是基于 Python 的实现代码，其中 $C(n, m)$ 表示从 $n$ 个元素中选取 $m$ 个元素的组合数。

def count_even_bits(arr1, arr2):
    # 将 arr1 和 arr2 中偶数位上的值分别提取出来
    even1 = [n & 1 == 0 for n in arr1]
    even2 = [n & 1 == 0 for n in arr2]
    
    # 统计 even1 和 even2 中值相同的数字对的个数
    cnt = sum([1 for i in range(len(arr1)) if even1[i] == even2[i]])
    
    # 计算答案并返回
    return C(cnt, 2)

参考资料

• LeetCode 题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/number-of-ways-to-reorder-array-to-get-same-bst/
• 官方题解：https://leetcode-cn.com/problems/number-of-ways-to-reorder-array-to-get-same-bst/solution/yi-ti-san-jie-dong-tai-gui-hua-by-leetcode-soluti/