查找给定数组中偶数对的计数

简介

在给定的整数数组中，找出一对数字，使这两个数字的和为偶数，计算这样的数字对的数量。这个问题可以用多种算法来解决，其中一种常见的算法是使用双重循环将数组中的每对数字都进行比较，以判断是否满足条件。但是，这种算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，对于大规模的输入数据，效率较低。因此，我们需要寻找其他更高效的算法，来解决问题。

算法分析

算法一

首先，我们可以尝试使用哈希表来解决问题。具体的做法是，我们将数组中的所有数字存入哈希表中，然后遍历数组中的每个数字 $x$，在哈希表中查找数字 $target-x$ 是否存在，且 $target-x$ 是否为偶数。如果满足这两个条件，则说明当前数字 $x$ 可以与哈希表中的某个数字配对，满足要求。因此，我们可以得到以下的代码实现：

def countPairs(nums, target):
    count = 0
    nums_set = set(nums)
    for x in nums:
        if target-x in nums_set and (target-x)%2 == 0:
            count += 1
    return count//2

该算法的时间复杂度为 $O(n)$，因为我们只需要遍历一遍数组，并在常数时间内完成哈希表的查找操作。但是，该算法的空间复杂度为 $O(n)$，因为需要使用哈希表来存储输入数组中的数字。

算法二

接下来，我们考虑一种更高效的算法。具体的做法是，我们将数组中的所有数字分类存储，即将所有奇数和偶数分别存放到不同的数组中。对于偶数数组，我们可以直接计算出其中可以配对的数字的数量（因为两个偶数之和仍为偶数）。对于奇数数组，我们需要将奇数数组和偶数数组配对，以满足题目要求。具体来说，我们可以将奇数数组和偶数数组中的数字分别按升序排列（这一步的时间复杂度为 $O(n\log n)$），然后使用双指针算法，从两个数组的开头开始遍历，分别求出当前两个指针所指数字之和 $sum$，如果 $sum$ 是偶数，则说明当前数字可以组成一对满足要求的数字，满足条件的数量即为两个指针之间的数字个数的乘积。具体的代码实现如下：

def countPairs(nums, target):
    evens = [x for x in nums if x%2 == 0]
    odds = [x for x in nums if x%2 == 1]
    n_evens = len(evens)
    n_odds = len(odds)
    count = n_evens*(n_evens-1)//2 + n_odds*(n_odds-1)//2
    evens.sort()
    odds.sort()
    i, j = 0, 0
    while i < n_evens and j < n_odds:
        if evens[i] + odds[j] == target:
            count += 1
            i += 1
            j += 1
        elif evens[i] + odds[j] < target:
            i += 1
        else:
            j += 1
    return count

该算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$，因为需要将奇数数组和偶数数组分别排好序，并且使用双指针算法来计算满足条件的数字对的数量。该算法的空间复杂度为 $O(n)$，因为需要依次将输入数组中的所有数字存入奇偶数组中。

总结

在本文中，我们介绍了两种解决查找给定数组中偶数对的计数问题的算法。其中，第一种算法使用了哈希表来存储数组中的数字，由此可以达到时间复杂度 $O(n)$ 的效率。第二种算法则使用了双指针算法来对数组进行处理，可以达到时间复杂度为 $O(n\log n)$ 的效率。对于这一问题，可以根据实际情况选择不同的算法来解决。