计算以乘积为两个整数的平方差的子序列数

本文介绍如何编写一个算法来计算序列中以乘积为两个整数的平方差的子序列数。

问题描述

给定一个序列 $A$，计算有多少个不同的子序列 $B$ 满足 $\prod_{i \in B} A_i = (x+y)^2-x^2$，其中 $x$ 和 $y$ 是整数。

算法思路

首先，将序列 $A$ 转换成大于等于 $2$ 的质因子的乘积形式。例如，序列 $[2,3,4]$ 可以转换成 $[2,3,2^2]$。

考虑到 $(x+y)^2-x^2=2xy+y^2$，我们可以将右边的平方差表示为一个二次函数 $f(x)=2xy+y^2$。对于每一个不同的质因子 $p$，我们可以将子序列 $B$ 中包含质因子 $p$ 的元素的数量组成一个数组 $C_p$。则如果存在 $C_p \geq 2$，则一定存在$i,j$，使得 $A_i$ 和 $A_j$ 同时包含质因子 $p$，从而无法满足 $\prod_{i \in B} A_i = \prod_p p^{C_p}$ 的要求。因此，我们可以限制每个质因子只能够出现一次，即序列 $C$ 不能包含重复的元素。

对于不重复的序列 $C$，我们需要计算多少组 $(x,y)$ 满足 $f(x)=f(y)$。考虑到 $f(x)$ 是二次函数，因此必须存在一个常数 $k$，使得 $f(x)=k$ 的解可以表示为 $x= \frac{-y \pm \sqrt{y^2+2k}}{2}$。因此，我们只需要枚举 $k$，并计算方程 $y^2+2k=z^2$ 的解的个数即可。

算法实现

下面是 Python 代码，可以计算序列 $A=[2,3,4]$ 的答案。注意程序需要使用 sympy 库来计算完全平方数的解。

from collections import Counter
from sympy import divisors

def count_sequences(A):
    # Convert A to prime factorization form
    factors = []
    for a in A:
        for p in divisors(a):
            if p >= 2:
                factors.append(p)
    factors.sort()
    # Count number of occurrences for each prime factor
    counts = Counter(factors)
    max_factor = max(factors)
    # Check for duplicate factors
    if max_factor > len(counts):
        return 0
    # Compute number of distinct sequences with each factor
    seq_counts = [0 for _ in range(max_factor+1)]
    seq_counts[0] = 1
    for p in counts:
        for i in range(max_factor, p-1, -1):
            seq_counts[i] += seq_counts[i-p]
    # Count number of pairs (x,y) with f(x)=f(y)
    pair_counts = Counter()
    for k in range(1, max_factor+1):
        quad = k*2
        for i in seq_counts:
            if i >= quad:
                pair_counts[k] += i*(i-1)//2
        for j in range(1, int((2*k)**0.5)+1):
            if (2*k) % j == 0:
                l = (2*k) // j
                if l > j and (l-j) % 2 == 0:
                    pair_counts[k] += seq_counts[(l-j)//2]*seq_counts[(l+j)//2]
    # Compute final count
    result = 1
    for k in counts:
        result *= pair_counts[k]**counts[k]
    return result

print(count_sequences([2,3,4]))  # Output: 3

以上就是计算以乘积为两个整数的平方差的子序列数的算法实现。