求两个整数 X 和 Y，给定 GCD P 和它们的平方差 Q

问题描述

给出两个整数 $X$ 和 $Y$，它们的最大公约数为 $P$，它们的平方差为 $Q = X^2 - Y^2$。现在请你求出 $X$ 和 $Y$ 的值。

解题思路

首先根据 $X$ 和 $Y$ 的平方差 $Q = X^2 - Y^2 = (X+Y)(X-Y)$，我们可以得出以下两个式子：

$$ \begin{aligned} X + Y &= \frac{Q}{P} \ X - Y &= P \end{aligned} $$

由此，我们就可以解出 $X$ 和 $Y$ 的值：

$$ \begin{aligned} X &= \frac{(X+Y)+(X-Y)}{2} = \frac{Q}{2P} + \frac{P}{2} \ Y &= \frac{(X+Y)-(X-Y)}{2} = \frac{Q}{2P} - \frac{P}{2} \end{aligned} $$

需要注意的是，由于 $P$ 和 $Q$ 均为整数，我们需要保证 $Q$ 能够被 $2P$ 整除。

代码实现

以下为求解 $X$ 和 $Y$ 的 Python 代码实现：

def solve(P: int, Q: int) -> Tuple[int, int]:
    if Q % (2 * P) != 0:
        return None
    x = Q // (2 * P) + P // 2
    y = Q // (2 * P) - P // 2
    return x, y

其中，P 和 Q 分别为输入的最大公约数和平方差，返回值为包含 $X$ 和 $Y$ 的元组（即 (X, Y)）。

需要注意的是，如果给定的 $P$ 和 $Q$ 没有合法的解，则返回值为 None。