平方差等于N的整数对的计数

介绍

这个主题涉及到的问题是：给定一个正整数N，求有多少对正整数a,b满足a^2-b^2=N。

这个问题有多种解法。本文将主要介绍两种解法：一种是利用分解因数的方法，另一种是利用类欧几里得算法。

分解因数的方法

我们可以将a^2-b^2=(a+b)(a-b)分解成两个因数的形式。因此，我们可以枚举a+b和a-b的值，判断是否满足条件，即可求得答案。

代码片段如下：

int countPairs(int N) {
    int count = 0;
    for (int i = 1; i * i <= N; i++) {
        if (N % i != 0) {
            continue;
        }
        int j = N / i;
        if ((i + j) % 2 == 0 && (j - i) % 2 == 0) {
            count++;
        }
    }
    return count;
}

以上代码中，我们先枚举因数i，然后判断i和N/i是否都满足条件。如果都满足，计数器加1即可。

时间复杂度为O(sqrt(N))，空间复杂度为O(1)。

类欧几里得算法

类欧几里得算法是一种求解不定方程ax^2+by^2=c的算法。我们可以将原问题转化为不定方程a=1，b=-1，c=N的情况。

这个问题的解法分为三种情况：

• 当a和b同时为奇数时，abc同余于1(mod 8)，且x和y都是奇数。因此，这种情况下方程无解。
• 当a和b的奇偶性不同时，abc同余于3(mod 8)，且x和y都是偶数。因此，这种情况下方程无解。
• 当a和b同时为偶数时，abc同余于2(mod 8)，且x和y都是偶数。因此，这种情况下方程有解。

对于有解的情况，我们可以采用递归的思想求解。具体步骤如下：

1. 求出gcd(a,b)，并将a和b变为最简形式。
2. 判断a和b的奇偶性。
   1. 如果a和b都是偶数，则将a和b同时除以2，然后将c除以4。
   2. 如果a和b都是奇数，则将a和b同时减1，然后将c减去2a-1。
   3. 如果a和b的奇偶性不同，则不可能有解。
3. 当a=b时，得到一个解。
4. 如果a>b，则交换a和b。
5. 递归地调用函数，直到a>b或者找到了所有的解。

代码片段如下：

int countPairs(int N) {
    int count = 0;
    for (int a = 1; a * a <= N; a++) {
        if (N % a != 0) {
            continue;
        }
        int b = N / a;
        if ((a + b) % 2 == 1 || b <= a) {
            continue;
        }
        int x = (a + b) / 2;
        int y = (b - a) / 2;
        if ((x * x - y * y) == N) {
            count++;
        }
    }
    return count;
}

以上代码中，我们先枚举因数a，然后判断a和N/a是否都满足条件。如果都满足，利用类欧几里得算法求解出x和y，并判断是否满足条件即可。

时间复杂度为O(sqrt(N)log N)，空间复杂度为O(1)。