将给定数组转换为 Mountain Array 所需的最小移除量

题目描述

给定一个长度为 n 的整数数组 arr，你需要将它变成一个 Mountain Array。

Mountain Array 定义为：

• arr.length >= 3
• 存在某个 i （0 < i < arr.length - 1）使得：
  • arr[0] < arr[1] < ... arr[i-1] < arr[i]
  • arr[i] > arr[i+1] > ... > arr[arr.length-1]

你需要将数组 arr 转换为一个 Mountain Array，然后计算出转换所需的最小移除量。

示例输入输出

输入: arr = [1,3,1] 输出: 0 解释: arr 已经是 Mountain Array 了。

输入: arr = [2,1,1,5,6,2,3,1] 输出: 3 解释: 移除数字 1 和 5，剩余 [2, 2, 6, 2, 3] 变成 Mountain Array。

解题思路

为了使数组 arr 转换为 Mountain Array，我们可以找到数组中的最大值和最大值所在的位置 i。然后分别从 i 左侧和右侧向两端遍历，比较每相邻的两个数的关系，若不满足关系要求，则将其删除。记录删除的次数即为所需的最小移除量。

代码实现（Python）

class Solution:
    def minimumMountainRemovals(self, arr: List[int]) -> int:
        n = len(arr)
        left = [1] * n
        right = [1] * n

        # 从左往右找最长上升子序列
        for i in range(n):
            for j in range(i):
                if arr[i] > arr[j]:
                    left[i] = max(left[i], left[j] + 1)

        # 从右往左找最长下降子序列
        for i in range(n-1, -1, -1):
            for j in range(i+1, n):
                if arr[i] > arr[j]:
                    right[i] = max(right[i], right[j] + 1)

        res = n
        # 枚举山顶
        for i in range(1, n-1):
            if left[i] > 1 and right[i] > 1:
                res = min(res, n - (left[i]+right[i]-1))
        return res

代码实现说明

首先，我们定义了一个 Solution 类，其中含有一个 minimumMountainRemovals 方法，用于解决本题。

在方法中首先计算了两个数组 left 和 right，分别代表从左到右和从右到左的最长子序列长度。这可以使用动态规划来计算。

之后，我们枚举山顶的位置 i，并计算出剩余元素的个数。这个个数即为需要移除的最小元素个数。

最后，我们返回所有山顶所需移除的元素个数的最小值。

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 是数组 arr 的长度。这是由于我们需要计算最长上升子序列和最长下降子序列。当然，如果使用更高效的算法，可以将时间复杂度降至 O(n log n)。

空间复杂度

该算法的空间复杂度为 O(n)。我们需要两个长度为 n 的数组来存储最长上升子序列和最长下降子序列。