在Mountain数组中搜索元素

简介

Mountain数组是一个特殊的数组，它的元素从中间某个位置开始单调递增，然后从某个位置开始单调递减。例如，下面这个Mountain数组：

[1,3,4,5,6,7,8,9,10,7,6,5,4,3,2,1]

其中，从数字10开始，之后的数字单调递减。

在Mountain数组中搜索元素是一个比较常见的问题，本文将介绍两种常用的方法来解决这个问题。

方法一：二分查找

由于Mountain数组是一个特殊的数组，我们可以利用这个特殊性质来实现二分查找。具体的，我们可以先找到Mountain数组的最高点，然后分别在递增区间和递减区间中使用二分查找即可。

查找最高点

为了查找Mountain数组的最高点，可以使用双指针法。具体的，我们可以首先将左指针left指向最左边，右指针right指向最右边，然后不断进行以下操作：

• 计算中间位置mid=(left+right)/2；
• 如果mid所在的位置是最高点，则返回mid；
• 如果mid所在的位置不是最高点，但是mid的左边是递增的，那么最高点在mid的右边，将left更新为mid+1；
• 如果mid所在的位置不是最高点，但是mid的右边是递减的，那么最高点在mid的左边，将right更新为mid-1。

具体的实现见下面的代码片段。

二分查找

在找到Mountain数组的最高点之后，我们可以将需要查找的元素与最高点进行比较，进而确定需要在递增区间还是递减区间中进行二分查找。具体的实现也见下面的代码片段。

代码实现

def search_in_mountain_array(target: int, mountain_arr: 'MountainArray') -> int:
    # Find the peak
    n = mountain_arr.length()
    left, right = 0, n-1
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        if mountain_arr.get(mid) < mountain_arr.get(mid+1):
            left = mid + 1
        else:
            right = mid
    peak = left

    # Search in the increasing part
    left, right = 0, peak
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        if mountain_arr.get(mid) < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid
    if mountain_arr.get(left) == target:
        return left

    # Search in the decreasing part
    left, right = peak, n-1
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        if mountain_arr.get(mid) > target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid
    if mountain_arr.get(left) == target:
        return left

    return -1

方法二：三分查找

三分查找是一种高级的查找算法，在一些特殊的场景下可以比二分查找更加高效。对于Mountain数组，我们可以使用三分查找来实现更加高效的查找。

三分查找

三分查找与二分查找相似，但是它是将查找的区间分为三个部分，然后根据目标元素可能所在的位置，确定下一次查找的区间。具体的，我们可以先将左指针left指向最左边，右指针right指向最右边，然后不断进行以下操作：

• 计算两个中间位置m1=left+(right-left)/3和m2=right-(right-left)/3；
• 如果目标元素target等于mountain_arr.get(m1)或者mountain_arr.get(m2)，返回它们的下标；
• 如果目标元素target小于mountain_arr.get(m1)，那么目标元素在左侧区域，将right更新为m1-1；
• 如果目标元素target大于mountain_arr.get(m2)，那么目标元素在右侧区域，将left更新为m2+1；
• 否则，目标元素在中间区域，在[m1+1,m2-1]区间内进行查找。

具体的实现见下面的代码片段。

代码实现

def search_in_mountain_array(target: int, mountain_arr: 'MountainArray') -> int:
    n = mountain_arr.length()
    left, right = 0, n-1
    while left < right:
        m1 = left + (right - left) // 3
        m2 = right - (right - left) // 3
        if mountain_arr.get(m1) == target:
            return m1
        if mountain_arr.get(m2) == target:
            return m2
        if mountain_arr.get(m1) < target:
            left = m1 + 1
        elif mountain_arr.get(m2) > target:
            right = m2 - 1
        else:
            left, right = m1+1, m2-1

    return left if mountain_arr.get(left) == target else -1

总结

本文介绍了在Mountain数组中搜索元素的两种常见方法：二分查找和三分查找。这两种方法都是通过利用Mountain数组的特殊性质实现的，可以在$O(logn)$的时间复杂度内解决这个问题。对于一般的有序数组，我们可以使用二分查找；对于特殊的Mountain数组，三分查找也是一种高效的选择。