门 | GATE CS 2021 | 设置 1 | 问题2

本题是在门电路中的Karnaugh图找到最小的逻辑表达式。具体来说，我们将给出一个Karnaugh图，然后需要使用Karnaugh图法来找到该逻辑电路的最小逻辑表达式。

Karnaugh图

Karnaugh图是一种用于布尔函数最简化的图形化方法。它是由Quine于1952年发明的，因此也被称为Quine图。Karnaugh图广泛用于设计、简化逻辑电路和布尔代数方面，并在数字电路设计中得到了广泛应用。

一个Karnaugh图是由0和1组成的矩形网格，每个小方格都代表了一个变量组合的取值。例如，对于两个变量A和B，其Karnaugh图如下所示：

| | 0 | 1 | |---|---|---| | 0 | | | | 1 | | |

在Karnaugh图中，我们可以通过将相邻格子的值进行比较来找到逻辑电路表达式的最简形式。具体步骤是先找到所有“卡诺图蕴含项”，然后找到给出的真值表中的最小项和未包含项，这些项必须尽可能多地使用已经找到的卡诺图蕴含项。

问题描述

在本问题中，我们将给出一个三变量逻辑电路的真值表，并要求你使用Karnaugh图法来找到其最小化表达式。

三个变量的$k$-map如下：

| | 00 | 01 | 11 | 10 | |:-:|:---:|:---:|:---:|:---:| | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |

请注意，上面的真值表中变量的顺序为ABC。

解法

我们可以根据上述$k$-map的真值表来构建出对应的Karnaugh图:

AB\CD 00 01 11 10
00     1  1  0  1
01     0  1  1  1
11     x  x  x  x
10     x  x  x  x

从上述$k$-map$/$Karnaugh图中可以看出，有两个不相邻的1格，因此对应的最小化表达式为：

$$F = (\bar{A} \land \bar{B} \land C) \lor (A \land B \land \bar{C})$$

总结

本题目旨在让读者了解Karnaugh图法在逻辑电路布局中的应用。在本题中，我们首先分析了真值表，并根据真值表构造了其对应的Karnaugh图。通过比较相邻格子，我们得到了最小化表达式为$(\bar{A} \land \bar{B} \land C) \lor (A \land B \land \bar{C})$。