门 | GATE CS 2021 |设置 2 |问题 4

这是2021年的GATE CS考试的第二个设置中的第四个问题。在这个问题中，我们将要解决找到一个图的最小生成树的问题。我们将简要介绍该问题的背景，并提供一个算法来解决它。

问题背景

给定一个带权重的无向图$G=(V,E)$，其中$V$是顶点集，$E$是边集。每个边$e$都有一个相应的权重$w(e)$，代表这条边的长度，我们任务是要找到一个这样的子图$T$，满足：

1. $T$包含了$G$中所有的顶点。
2. $T$是一棵树，也就是说，$T$是联通的，并且没有环。
3. $T$的所有边都被分配了一个权重，这些边权的总和最小。

算法介绍

下面我们将介绍一种名为“Kruskal算法”的方法来解决这个问题。 Kruskal算法的基本思路是：根据每条边的权重，从小到大进行排序；然后将每条边依次添加到T上，如果添加了这条边后没有产生环，则将这条边添加到$T$的边集合中。为了避免产生环，我们可以使用一种叫做“并查集”的数据结构来记录T中的顶点所在的连通分量。

以下是Kruskal算法的详细步骤：

1. 对边集合$E$按边权从小到大排序。
2. 初始化一个空边集$T$。
3. 初始化一个并查集$U$，它的每个元素都代表一个顶点，每个元素的初始值为它自己。
4. 对于每条边$(u,v)$（已排序），如果$u,v$不在同一个连通分量中，则将$(u,v)$加入$T$中；否则，忽略这条边。
5. 返回边集$T$。

算法分析

时间复杂度：$O(ElogE)$ 空间复杂度：$O(V)$

代码实现

以下是Python代码实现Kruskal算法的函数：

# 并查集实现，用于判断两个点是否在一个集合中
class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.father = list(range(n))

    def find(self, x):
        if self.father[x] != x:
            self.father[x] = self.find(self.father[x])
        return self.father[x]

    def union(self, x, y):
        root_x, root_y = self.find(x), self.find(y)
        self.father[root_x] = root_y


def kruskal(n, edges):
    # 对所有边按照权重递增排序
    edges.sort(key=lambda x: x[2])
    ans = []  # 储存最小生成树的边
    uf = UnionFind(n)
    for u, v, w in edges:
        # 如果u,v不在同一个集合中，则将u,v加入ans中，并将它们合并到同一个集合中
        if uf.find(u) != uf.find(v):
            ans.append((u, v))
            uf.union(u, v)
    return ans

以上就是找到一个图的最小生成树问题的解决算法，希望对你有所帮助。