题目概述

本题是 GATE CS 2021 的门控试题集中的第 2 题，编号为 37。本题要求求出给定无向图中的连通分量数目。

问题分析

本题是一个典型的图论问题，需要用到深度优先搜索(DFS)或广度优先搜索(BFS)来求解。DFS 和 BFS 都是用于图的遍历的算法，其中 DFS 更适合于求解连通性相关的问题。

在本题中，采用 DFS 搜索可以很方便地求出无向图中的连通分量数。具体来说，我们可以从图中的每个未被访问过的节点开始，使用 DFS 函数遍历该节点所在的联通分量，并累加计数器 cnt，得到联通分量的数目。

代码实现

下面给出一个 Python 代码实现 DFS 算法求解连通分量数的示例程序。其中，输入的无向图使用邻接表(adjacency list)存储，每个连通分量用一个整数表示。输出为联通分量的数目。具体实现过程如下：

# 定义无向图的数据结构
class Graph:
    def __init__(self, num_vertices):
        self.num_vertices = num_vertices
        self.adj_list = [[] for _ in range(num_vertices)]

    def add_edge(self, u, v):
        self.adj_list[u].append(v)
        self.adj_list[v].append(u)

# DFS 遍历连通分量的函数
def dfs(graph, visited, v, c):
    visited[v] = True # 标记已经访问过的节点
    for neighbor in graph.adj_list[v]:
        if not visited[neighbor]:
            dfs(graph, visited, neighbor, c)

# 计算无向图的连通分量数
def count_connected_components(graph):
    cnt = 0 # 初始联通分量数为 0
    visited = [False] * graph.num_vertices # 存储每个节点的访问状态
    for v in range(graph.num_vertices):
        if not visited[v]:
            cnt += 1 # 遇到未被访问过的节点时，增加联通分量的计数器
            dfs(graph, visited, v, cnt) # 从该节点开始进行 DFS 遍历
    return cnt # 返回联通分量的数目

总结

本题通过 DFS 算法求解图的连通性问题，为实际工程中应用到图算法的解决提供了一个实例。在实际应用中，DFS 和 BFS 算法应该根据需要选用，从而达到最优的算法效果。同时，本题也对 Python 语言的面向对象编程有了一定的展示。