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📜  反三角恒等式

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:54:14.667000             🧑  作者: Mango

反三角恒等式

在数学中，反三角函数也称为弧函数或反三角函数。反三角函数是基本三角函数的反函数，即正弦、余弦、正切、余割、正割和余切。它用于找到具有任何三角比的角度。反三角函数一般用于几何、工程等领域。反三角函数的表示形式有：

如果 a = f(b)，则反函数为

反三角函数的例子有 sin -1 x、cos -1 x、tan -1 x 等。

下表显示了一些三角函数及其域和范围。

FunctionDomainRange
y = sin-1 x[-1, 1][-π/2, π/2]
y = cos-1 x[-1, 1][0 , π]
y = cosec-1 xR – (-1,1 )[-π/2, π/2] – {0}
y = sec-1 xR – (-1, 1)[0 , π] – {π/2}
y = tan-1 xR(-π/2, π/2)
y = cot-1 xR(0 , π)

反三角函数的性质

以下是反三角函数的性质：

属性一：

  1. sin -1 (1/x) = cosec -1 x，对于 x ≥ 1 或 x ≤ -1
  2. cos -1 (1/x) = sec -1 x，对于 x ≥ 1 或 x ≤ -1
  3. tan -1 (1/x) = cot -1 x，对于 x > 0

属性 2：

  1. sin -1 (-x) = -sin -1 x, 对于 x ∈ [-1 , 1]
  2. tan -1 (-x) = -tan -1 x，对于 x ∈ R
  3. cosec -1 (-x) = -cosec -1 x，对于 |x| ≥1

财产 3

  1. cos -1 (-x) = π – cos -1 x, 对于 x ∈ [-1 , 1]
  2. 秒-1 (-x) = π – 秒-1 x，对于 |x| ≥1
  3. cot -1 (-x) = π – cot -1 x，对于 x ∈ R

属性 4

  1. sin -1 x + cos -1 x = π /2，对于 x ∈ [-1,1]
  2. tan -1 x + cot -1 x = π /2，对于 x ∈ R
  3. cosec -1 x + sec -1 x = π /2 , 对于 |x| ≥1

财产 5

  1. tan -1 x + tan -1 y = tan -1 ( x + y )/(1 – xy)，对于 xy < 1
  2. tan -1 x – tan -1 y = tan -1 (x – y)/(1 + xy)，对于 xy > -1
  3. tan -1 x + tan -1 y = π + tan -1 (x + y)/(1 – xy)，对于 xy >1 ； x, y >0

财产 6

  1. 2tan -1 x = sin -1 (2x)/(1 + x 2 )，对于 |x| ≤ 1
  2. 2tan -1 x = cos -1 (1 – x 2 )/(1 + x 2 )，对于 x ≥ 0
  3. 2tan -1 x = tan -1 (2x)/(1 – x 2 )，对于 -1 < x <1

函数的恒等式

以下是反三角函数的恒等式：

  1. sin -1 (sin x) = x 提供 – π /2 ≤ x ≤ π /2
  2. cos -1 (cos x) = x 提供 0 ≤ x ≤ π
  3. tan -1 (tan x) = x 提供 – π /2 < x < π /2
  4. sin(sin -1 x) = x 提供 -1 ≤ x ≤ 1
  5. cos(cos -1 x) = x 提供 -1 ≤ x ≤ 1
  6. tan(tan -1 x) = x 假设 x ∈ R
  7. cosec(cosec -1 x) = x 提供 -1 ≤ x ≤ ∞ 或 -∞ < x ≤ 1
  8. sec(sec -1 x) = x 提供 1 ≤ x ≤ ∞ 或 -∞ < x ≤ 1
  9. cot(cot -1 x) = x 提供 -∞ < x < ∞
  10. sin^{-1}(\frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  11. cos^{-1}(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  12. tan^{-1}(\frac{2x}{1 - x^2}) = 2 tan^{-1}x
  13. 2cos -1 x = cos -1 (2x 2 – 1)
  14. 2sin -1 x = sin -1 2x√(1 – x 2 )
  15. 3sin -1 x = sin -1 (3x – 4x 3 )
  16. 3cos -1 x = cos -1 (4x 3 – 3x)
  17. 3tan -1 x = tan -1 ((3x – x 3 /1 – 3x 2 ))
  18. sin -1 x + sin -1 y = sin -1 { x√(1 – y 2 ) + y√(1 – x 2 )}
  19. sin -1 x – sin -1 y = sin -1 { x√(1 – y 2 ) – y√(1 – x 2 )}
  20. cos -1 x + cos -1 y = cos -1 [xy – √{(1 – x 2 )(1 – y 2 )}]
  21. cos -1 x – cos -1 y = cos -1 [xy + √{(1 – x 2 )(1 – y 2 )}
  22. 棕褐色-1 x + 棕褐色-1 y = 棕褐色-1 (x + y/1 – xy)
  23. 棕褐色-1 x – 棕褐色-1 y = 棕褐色-1 (x – y/1 + xy)
  24. tan -1 x + tan -1 y +tan -1 z = tan -1 (x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

示例问题

问题 1：证明 sin -1 x = sec -1 1/√(1-x 2 )

解决方案：

问题 2：证明 tan -1 x = cosec -1 √(1 + x 2 )/x

解决方案：

问题 3：计算 tan(cos -1 x)

解决方案：

问题 4：tan -1 √(sin x) + cot -1 √(sin x) = y。找到 cos y。

解决方案：

问题 5：tan -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan -1 x, x > 0。求解 x。

解决方案：

问题 6：证明 tan -1 √x = (1/2)cos -1 (1 – x)/(1 + x)

解决方案：

问题 7：tan -1 (2x)/(1 – x 2 ) + cot -1 (1 – x 2 )/(2x) = π /2, -1 < x < 1。求解 x。

解决方案：

问题 8：tan -1 1/(1 + 1.2) + tan -1 1/(1 + 2.3) + … + tan -1 1/(1 + n(n + 1)) = tan -1 x。求解 x。

解决方案：

问题 9：如果 2tan -1 (sin x) = tan -1 (2sec x) 那么求解 x。

解决方案：

问题 10：证明 cot -1 [ {√(1 + sin x) + √(1 – sin x)}/{√(1 + sin x) – √(1 – sin x)}] = x/2， x ∈ (0, π /4)

解决方案：