上三角和下三角之和

简介

上三角指一个二维数组中，包括或不包括主对角线以下的元素，形成一个三角形，而下三角则表示包括或不包括主对角线以上的元素。常常需要计算上三角或下三角中所有元素的和。这是许多数学和计算机科学领域的常见问题。

算法实现

简单遍历

最基础的方式是通过遍历上三角或下三角中的元素并将它们相加。由于上三角和下三角分别占据一个矩阵中的一半，因此可以通过双层循环来遍历矩阵的上半部分或下半部分。

def upper_triangle(matrix):
    result = 0
    for i in range(len(matrix)):
        for j in range(i, len(matrix)):
            result += matrix[i][j]
    return result

def lower_triangle(matrix):
    result = 0
    for i in range(len(matrix)):
        for j in range(i + 1):
            result += matrix[i][j]
    return result

矩阵转置

将矩阵转置后，上三角变为下三角，下三角变为上三角，可以不必区分上下三角而使用同一函数进行计算。这种方式的时间复杂度为 $O(n^2)$。

def triangle_sum(matrix, upper=True):
    result = 0
    n = len(matrix)
    if upper:
        for i in range(n):
            for j in range(i, n):
                result += matrix[i][j]
    else:
        # transpose the matrix
        matrix = [[matrix[j][i] for j in range(n)] for i in range(n)]
        for i in range(n):
            for j in range(i, n):
                result += matrix[i][j]
    return result

积分图像算法

积分图像算法（integral image algorithm）是一种高效的计算图像区域和的方法，适用于求解上三角或下三角的和。该算法的时间复杂度为 $O(1)$，但需要使用额外的空间存储积分图像。

def integral_image(matrix, upper=True):
    n = len(matrix)
    integral = [[0] * (n+1) for i in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, n+1):
            integral[i][j] = matrix[i-1][j-1] + integral[i-1][j] + integral[i][j-1] - integral[i-1][j-1]

    result = 0
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(i, n+1):
            if upper:
                result += integral[j][j] - integral[i-1][j] - integral[j][i-1] + integral[i-1][i-1]
            else:
                result += integral[i][i] - integral[i][j-1] - integral[j-1][i] + integral[j-1][j-1]
    return result

总结

本文介绍了计算上三角和下三角的和的三种常见算法，分别是简单遍历、矩阵转置和积分图像算法，它们的时间复杂度分别为 $O(n^2)$、$O(n^2)$ 和 $O(1)$。在实际使用中，应根据场景需求选择最适合的算法以获得最佳性能。