三角与高度和距离 |组 2

问题1：求(2sinθ + 3 cosθ)的最大值
解： (asinθ + bcosθ) = √(a ² + b ² )) 的最大值
所以，最大值 = √(2 ² + 3 ² )
= √(4 + 9)
= √13

问题2：求4tan ² θ + 9cot ² θ的最小值
解决方案：最小值 = √ab
这里 a = 4 和 b = 9
最小值 = √(4×9)
= √36
= 6

问题3：若θ为锐角且7sin ² θ + 3cos ² θ = 4，则tanθ的值为
解： 7sin ² θ + 3cos ² θ = 4
7sin ² θ + 3(1-sin ² θ) = 4
7sin ² θ + 3 – 3sin ² θ = 4
4sin ² θ = 1
罪² θ = 1/4
sinθ = 1/2
所以，θ = 30 ^o
那么tanθ = 1/√3

问题 4： $\sqrt{\frac{1+sin\theta }{1-sin\theta }}\:+\:\sqrt{\frac{1-sin\theta \:}{1+sin\theta \:}}$等于
解决方案：可以通过合理化解决
$\frac{\left(\sqrt{1+sin\theta \:}\right)^2\:+\:\left(\sqrt{1-sin\theta \:\:}\right)^2}{\sqrt{1-sin^2\theta \:\:}}$
使用该物业：-
(1-sin ² θ = cos ² θ)
$=\frac{1\:+sin\theta \:+\:1\:-sin\theta }{cos\theta }$
= 2/cosθ = 2 秒θ

问题 5：如果 cosα = a cosβ 且 sinα = b sinβ，则 sin ² β 的 a 和 b 值是：
解决方案：两边都平方
cos ² α = a ² cos ² β
=> 1 – sin ² α = a ² (1 – sin ² β) ……..(1)
同样，sinα = b sinβ
在平方两边
sin ² α = b ² sin ² β
^{将 sin 2} α 的值放入 (1)
1 – b ² sin ² β = a ² – a ² sin ² β)
a ² – 1 = a ² sin ² β – b ² sin ² β
a ² – 1 = sin ² β(a ² – b ² )
sin ² β = a ² – 1 / (a ² – b ² )

问题6：的^{tan1ötan2ötan3ö……} .tan89 ^O是值
解决方案：安排 A + B = 90 ^{o
（tan1Øtan89 O）（tan2Øtan88 O）… ..（tan44Øtan46 O）tan45Ø}
= 1x1x1……1×1
= 1

问题 7：如果 sin 2A = cos(A – 15 ^o )，其中 2A 是锐角，则 A 的值为
解： sin 2A = cos(A – 15 ^o )
2A + A – 15 ^o = 90 ^o
3A = 105 ^o
A = 35 ^o

问题 8： $\frac{tan\theta \:+\:cot\theta }{tan\theta -cot\theta }=2\left(0\le \theta \le 90^o\right)$
那么 sinθ 的值为
解决方案：通过组件和股息
tanθ/cotθ = 3/1
=> 罪² θ = 3cos ² θ
=> sin ² θ = 3(1 – sin ² θ)
=> 4sin ² θ = 3
=> 罪² θ = 3/4
sinθ = √/2

问题 9：如果 tan (π/2 – θ/2) = √3 那么 cosθ 的值为
解： tan (π/2 – θ/2) = √3
=> tan (90 – θ/2) = √3
=> cotθ/2 = √3 = cot 30 ^o
=> θ/2 = 30 ^o
=> θ = 60 ^o
那么 cosθ = cos60 ^o = 1/2

问题 10： a、b、c 是三角形 ABC 三边的长度。如果 a, b, c 通过关系 a ² + b ² + c ² = ab + bc + ca 相关，则 (sin ² A + sin ² B + sin ² C) 的值是
解决方案： ACC。质疑
a ² + b ² + c ² – ab – bc – ca = 0
=>2a ² + 2b ² + 2c ² – 2ab – 2bc – 2ca = 0
=>(ab) ² + (bc) ² + (ca) ² = 0
=> a=b=c
三边都相等，则是等边三角形。
那么∠A = ∠B = ∠C = 60 ²
所以，罪² 60 + 罪² 60 + 罪² 60
= 3(√3/2) ²
= 9/4

问题11：从在地面上的点处的飞机的仰角是^30°。飞行 30 秒后，海拔变为 60 ^o 。如果飞机在 4500 米的高度飞行，则飞机的速度以公里/小时为单位
解决方案 ：

在 ΔABE
棕褐色 60 = P/B = 4500/AB
√3 = 4500/AB
AB = 4500/平方3

在 ∆ACD
棕褐色 30 = 4500/AC
1/√3= 4500/AC
AC = 4500√3

飞机在 30 秒内走过的距离 = AC – AB
=4500√3 – 4500/√3
= (13500 – 4500)/√3
= 9000/√3
= 3000√3

速度=距离/时间=3000√3 / 30
= 100√3 x 18/5（得到公里/小时）
= 360°3
因此，飞机的速度是360√3 公里/小时。

问题 12：有两座塔，在马路的每一侧，彼此相对。一塔高54m。从这座塔的顶部，另一座塔的顶部和底部的凹陷角度分别为30°和60°。另一座塔的高度为：
解决方案 ：

AB 和 CD 是塔。
BD 是道路的宽度。
AB = 54 m
在 ∆ AEC
tan 30 = AE/EC = 1/√3
=> AE : EC = 1 : √3
在 ∆ABD
棕褐色 60 = AB/BD
√3 = AB/BD
=> AB : BD = √3 : 1
从图中我们知道 EB = CD 和 EC = BD
现在，

AB     :     BD     :     AE
             √3           1
√3     :      1
3      :     √3     :     1

CD = AB – AE = 3 – 1 = 2 个单位

3 单位 AB -> 54 m
1 台 -> 18
然后 2 个单位 -> 36 m
因此，另一个塔的高度为36m 。