多项式的代数恒等式

为代数表达式定义了代数恒等式。代数表达式包含变量(a，b，c，x，y，z等)，数字(0、1、2、3、4等)和运算符(+，-，*，/….etc)。代数表达式可以仅包含常量(1、2、3、4等)，也可以仅包含变量(x，y，z等)，也可以同时包含常量和变量(5xy，4p ³ )。代数恒等从本质上讲就是那些数学方程式，可以简化现实生活中的计算。

例如：考虑将两个数字相乘，例如“ 989”和“ 1011”。现在，这是一个很长的计算，但是如果您知道一些适合此类问题的身份，就可以轻松解决。在详细介绍代数恒等式之前，首先让我们看一下恒等式：

什么是身份?

同一性是两个或两个以上数学表达式之间的关系，以便它们对所有变量值产生相同的值。用简单的话说，对于变量的所有值，一个方程式的LHS变得与RHS完全相等，就说明了一个恒等式。

让我们看下面的表达式

(x + 2)(x + 4)= x ² + 6x + 8

针对x的不同值，评估此方程式的双方RHS和LHS，

1. x = 5

LHS: (x + 2)(x + 4) = (5 + 2)(5 + 4) = 63

RHS: x² + 6x + 8 = 5² + 6(5) + 8 = 25 + 30 + 8 = 63

Thus, both sides of this expression are equal for x = 5.

2. x = 10

LHS: (x + 2) (x + 4) = (10 + 2) (10 + 4) = (12)(14) = 168

RHS: x² + 6x + 8 = 10² + 6(10) + 8 = 100 + 60 + 8 = 168

Thus, both sides of this expression are equal for x = 10.

如果我们继续尝试使用不同的x值，我们将发现LHS和RHS对于x的每个值都是相等的。这样的表达式对于其中存在的变量的每个值都是正确的，称为“身份”。

Note: An equation is only true for some values of variables present in it. 

For example:

a² + 3a + 2 = 132

a = 10 satisfies this identity, but a = 5 or – 7 cannot.

代数表达式的类型

表达式可以具有不同的类型，具体取决于它们包含多少个术语。构成身份的表达式有四种不同。

单项式

仅包含一项的表达式称为单项表达式。

例如：16Z ^{2，8xy，-7M，11} …。等等。

Note: A Monomial Expression can be only a constant, a variable or a combination of both constants and Variables. 

For Example: 4, x³, 15x²

二项式

仅包含两个项的表达式称为二项式表达式。

例如： x + y，2x + 5z，x ² + 10 ..等

二项式身份证明：

Identity 1: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Proof: L.H.S. = (a + b)²

              L.H.S. = (a + b) (a + b)

          By multiplying each term, we get,

          L.H.S = a² + ab + ab + b²

         L.H.S. = a² + 2ab + b²

         L.H.S. = R.H.S.

Identity 2: (a – b)² = a² – 2ab + b²

Proof: By taking L.H.S.,

          (a – b)² = (a – b) (a – b)

          (a – b)² = a² – ab – ab + b²

          (a – b)² = a² – 2ab + b²

             L.H.S. = R.H.S.

          Hence, proved.

Identity 3: a² – b² = (a + b) (a – b)

Proof: By taking R.H.S and multiplying each term.

           (a + b) (a – b) = a² – ab + ab – b²

          (a + b) (a – b) = a² – b²

            Or

          a² – b² = (a + b) (a – b)

         L.H.S. = R.H.S.

         Hence proved. 

三项式

仅包含三个项的表达式称为三项式表达式。

例如： 2a + 3b – 5，a ² b – ab ² + b ²

Trinomial Identity

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)

Identity: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

Proof: Taking L.H.S. 

           (a+b+c)²= (a+b+c) × (a+b+c)

           Using Distributive Property:

           (a+b+c)²= a (a+b+c) +b (a+b+c) +c (a+b+c)

                         = a²+ab+ac+ab+b²+bc+ca+cb+c²

               Rearranging the following:

          (a+b+c)²= a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca

          Hence, L.H.S. = R.H.S.

多项式

它是所有三种和其他类型表达的概括。包含一个或多个系数为非零的项(变量具有非负指数)的表达式称为多项式。多项式可以包含任意数量的项，一个或多个。

例如：X + Y，2A + 3B – 5，16Z ^2，图2a + 3b中- 5 + Z。

现在，我们准备研究代数恒等式。

代数恒等式

了解基本代数恒等式(也称为标准恒等式)非常重要。

Standard Identities

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

其他身份：

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab (a – b)

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

让我们看一些使用这些身份的示例。

样本问题

问题1：使用上述身份找出(4x + 3y) ² 。

解决方案：

This can be found out using the identity of (a + b)² = a² + b² + 2ab. 

(4x + 3y)² = (4x)² + (3y)² + 2(4x)(3y) 

                = 16x² + 9y² + 24xy

问题2：找到值99 ² 。

解决方案：

Multiplying 99 with 99 will take time and calculation. We can formulate this problem in a form that is easier to calculate. 

We have seen the identity, (a – b)² = a² + b² – 2ab.  

So, 99² = (100 – 1)² = 100² + 1² – 2(100)(1) 

                               = 10000 + 1 -200 

                               = 9801

问题3：找出983 ² – 17 ²

解决方案：

This can take a lot of calculation if we do it the traditional way. We should use the identities to solve this.

We can use a² – b² = (a + b)(a -b) 

So, 983² – 17² = (983 + 17)(983 – 17) 

                      = (1000)(966) 

                      = 966000  

问题4：找出答案$(\frac{3}{2}m - \frac{2}{3}n)(\frac{3}{2}m + \frac{2}{3}n)$

解决方案：

We can use a² – b² = (a + b)(a -b) 

 $(\frac{3}{2}m - \frac{2}{3}n)(\frac{3}{2}m + \frac{2}{3}n) \\ \hspace{0.6cm}$

$= \frac{9}{4}m^{2} - \frac{4}{9}n^{2}$

                

问题5：找出1011 ² 。

解决方案：

This problem can be solved using multiple identities. Let’s solve it using the identity with three variables. 

(a + b + c ) ² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

1011² = (1000 + 10 + 1)² = 1000² + 10² + 1² + 2(1000)(10) + 2(10)(1) + 2(1000) 

                                         = 1000000 + 100 + 1 + 20000 + 20 + 2000 

                                         = 1022121