标准代数恒等式|第9类数学

代数恒等式是一个等式，适用于其变量的任何值。它们通常用于多项式的因式分解或代数计算的简化。许多日常情况都可以用数学方程式来表述。身份通过给予因素分解来帮助我们。

在操作手机时。手机屏幕下方有数百万个芯片，它们工作出色，因此您几乎不会感到任何毛刺。成千上万的工程师就复杂的方程式集思广益，使之成为可能。他们处理更大的方程式和问题。代数身份然后成为帮助解决这些问题的小工具。因此，也许它们不是直接出现在我们面前，而是在幕后的某个地方，肯定有人使用了它们，并使我们的生活更加轻松。

多项式的类型

基于代数表达式中存在的项数，例如，可以有1个项，2个项，3个项，4个项，依此类推，将它们分为不同的类别。术语之间用正号或负号分隔：

Types of Polynomials	Definition	Example
Monomials	A Polynomial containing only one term	10,  2x2,  4abc
Binomials	A Polynomial containing two terms	x+y,  3p2-5,  x3y+8z
Trinomials	A Polynomial containing three terms	p+q+r, x5+5x+3,
Quadrinomial	A Polynomial containing four terms	p+q+r+s, m2n-2mn+3m+7
Quintinomial	A Polynomial containing five terms	5x3y+ 6x2– 9xy+8y-7

 Note: 

• Quadrinomials and Quintinomials are not very famous terms and are often referred as Polynomials.
• The most common Standard Identities are from Binomials and Trinomials.

代数表达的标准恒等式

所有标准代数恒等式均来自二项式定理。有许多代数恒等式，但下面列出了一些标准的恒等式：

Standard Identities

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

(a – b)2 = a2 + b2 -2ab

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

(ax + b)(ax – b) = ax2 – b2

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)

让我们看一下这些身份的不同应用。

身份申请

身份1：(a + b) ² = a ² + b ² + 2ab

问题：当x = 3时，使用代数恒等式求出(x + 6)(x + 6)的值。

解决方案：

(x+6)(x+6) can be re-written as (x + 6)². 

It can be rewritten in this form, (a + b)² = a² + b² + 2ab. 

(x + 6)² = x² + 6² + 2(6x) 

             = x² + 36 + 12x 

Given, x = 3. 

(x + 6)² = 3² + 36 + 12(3) 

             = 9 + 36 + 36 

             = 81

身份2：(a – b) ² = a ² + b ² -2ab

问题：展开(5x – 3y) ² 。

解决方案：

This is similar to expanding (a – b)² = a² + b² – 2ab.

where a = 5x and b = 3y,

So (5x – 3y)² = (5x)² + (3y)² – 2(5x)(3y)

                    = 25x² + 9y² – 30xy 

身份3：a ² – b ² =(a + b)(a – b)

问题：使用上述身份分解(x ⁶ – 1)。

解决方案：

(x⁶ – 1) can be written as (x³)² – 1². 

This resembles the identity a² – b² = (a + b)(a – b). 

where a = x³, and b = 1. 

So, x⁶ – 1 = (x³)² – 1 = (x³ + 1) (x³ – 1). 

其他一些问题和应用

问题1：如果a + b = 12且ab = 35，那么a ⁴ + b ^4是什么?

解决方案：

a⁴ + b⁴ can be written as (a²)² + (b²)², 

and we know, (x + y)² = x² + y² + 2xy

                   ⇒ x² + y² = (x + y)² -2xy 

So, in this case, x = a², y = b² ;

a⁴ + b⁴ = (a² + b²)² -2(a²)(b²) 

⇒ ((a+b)² – 2ab)² – 2(a²)(b²) 

⇒ ((12)² – 2(35))² – 2(35)² 

⇒ 5475 – 2450

⇒ 3026

问题2：对于z的所有实数值，恒等式4(z + 7)(2z-1)= Az ² + Bz + C成立。什么是A + B + C?

解决方案：

Multiplying out the left side of the identity, we have

4(x+7)(2x−1)=8x² +52x−28.

This expression must be equal to the right-hand side of the identity, implying

8x²+52x-28=Ax²+Bx+C,

So now comparing both sides of the equation. 

A = 8, B = 52 ad C -28. 

A + B + C  = 8 + 52 -28 = 32

问题3：如果a + b + c = 6，则² + b ² + c ² = 14，而ab + bc + ca = 11是³ + b ³ + c ³ -3abc?

解决方案：

We know this identity,

a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab -bc -ca)

Substituting the given values, 

a³ + b³ + c³ -3abc = (6)(14 -11)

⇒ (6)(3) = 18