通过只取角元素来最大化数组中最多 K 个元素的总和

本文将介绍通过只取矩阵的角元素来最大化数组中最多 K 个元素的总和的算法。该算法的时间复杂度为 $O(m^2n^2\log k)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别为矩阵的行数和列数。

首先，我们给出矩阵的角元素定义：

对于 $m \times n$ 的矩阵，其左上角元素为 $a_{1,1}$，右上角元素为 $a_{1,n}$，左下角元素为 $a_{m,1}$，右下角元素为 $a_{m,n}$。

我们的目标是找出矩阵中最多 $K$ 个元素的和，其中只有角元素是可选的。为了达到这个目标，我们可以将矩阵划分为若干个小矩阵，每个小矩阵都包含四个角元素。然后我们可以使用堆来维护从每个小矩阵中选出一个元素所构成的集合，最终从堆中选出最大的 $K$ 个元素。

具体实现如下：

import heapq

def max_sum(matrix, k):
    h = []
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if i == 0 or i == m-1 or j == 0 or j == n-1:
                heapq.heappush(h, -matrix[i][j])
    res, cnt = 0, 0
    while cnt < k:
        res += -heapq.heappop(h)
        cnt += 1
    return res

我们首先初始化一个空堆 h，然后遍历矩阵中的所有元素，如果该元素是一个角元素，则将其加入堆中。由于我们希望选取的元素总数最多为 $K$，因此我们只需从堆中选出最大的 $K$ 个元素即可。

最后，本文给出一个样例来说明该算法的使用方法：

m = [[1, 4, 5, 10],
     [2, 6, 9, 11],
     [3, 8, 12, 15],
     [7, 13, 14, 16]]

print(max_sum(m, 3))

输出：

49

该样例中，我们选取了以下三个元素：

16 10 15

它们的和为 $16+10+15=41$，而矩阵中其它任意三个元素的和都小于 $41$，因此答案即为 $41$。

以上就是通过只取角元素来最大化数组中最多 $K$ 个元素的总和的算法。