最大化奇数索引数组元素的总和

本文介绍了一种解决方案，即通过从头开始重复选择最多 2*M 个数组元素来最大化奇数索引数组元素的总和。

介绍

在给定一个长度为 N 的整数数组 A，我们需要从头开始重复选择不超过 2*M 个不同的数组元素使得选出的元素的奇数索引的总和最大。

解决方案

我们可以将问题转化为一个动态规划问题。定义 dp[i][j] 表示前 i 个元素选 j 个不同的元素时奇数索引元素的最大和。

那么对于每个位置 i，存在两种情况：

1. 不选 A[i] 这个元素，dp[i][j] = dp[i-1][j]。
2. 选 A[i] 这个元素，那么前面选的 j-1 个元素一定不包含 A[i]，可以枚举最后一个选的位置 k，然后 dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k-1][j-1] + sum(A[k:i+1])，其中 sum(A[k:i+1]) 表示区间 [k,i] 的元素和。

状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k-1][j-1] + sum(A[k:i+1]))
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j])

其中 k 可以从 j-1 到 i-1 枚举。

最终的答案为 dp[N][2M]。

时间复杂度

动态规划时间复杂度为 O(N*M^2)，其中 N 为数组长度，M 为最多选择的元素个数。

代码实现

以下为 C++ 代码实现：

int dp[MAXN][MAXM];

int solve(const vector<int>& A, int M) {
    int n = A.size();
    memset(dp, -0x3f, sizeof(dp));
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        dp[i][0] = 0;
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= M; ++j) {
            for (int k = j-1; k < i; ++k) {
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j-1] + ((i-k)&1 ? A[i-1] : 0));
            }
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j]);
            if (j == 2*M) {
                ans = max(ans, dp[i][j]);
            }
        }
    }
    return ans;
}

以上为本文介绍的算法，欢迎大家指正和补充。