什么是菱形？

在我们的日常生活中，我们会遇到许多几何形状和图形。其中包括建筑、水坝、室内设计、计算机图形学等。几何在我们周围事物的研究和创造中起着重要作用。它广泛用于各种科学，以及建筑、雕塑和艺术。所有形状，如矩形、三角形、圆形、正方形、圆锥形、圆柱体等，都属于几何形状。换句话说，几何就是关于形状及其属性的。但是只有通过适当的测量才能创建新对象，以便根据使用它们的人的需要定制所述对象。例如，要安装在某人屋顶的水箱必须具有相当大的尺寸。它可以是圆柱形或立方体形状，其容量（体积）必须符合使用它的人的需要，以及该区域的供水量。虽然考虑了这些因素，但还必须牢记油箱将占用的表面积。这肯定需要在建造和安装储罐之前进行适当的测量和计算。这就是测量概念出现的时候。

什么是测量？

测量涉及计算我们周围看到的所有 2D 和 3D 形状的各种尺寸。不仅如此，测量还用于计算我们周围各种物体的面积、周长、侧表面积、体积等。所有与几何形状和大小有关的计算都属于这个数学分支。

形状类型：2D 和 3D

二维空间是只有两个维度的空间，即长度和宽度。这样的形状没有任何高度或宽度。它们的元素位置可以在两个维度的帮助下确定。我们总是确定这些形状的面积或周长。下图描绘了一些二维图形：

与 2D 形状不同，3 维空间是具有高度/宽度/深度的空间。在 3D 形状、体积、侧面面积的情况下，确定曲面面积。这样的形状由许多 2D 形状本身组成。下图描绘了一些 3D 形状：

基本术语

面积：表示二维对象大小/区域/形状的量。它可以通过将这种形状的长度乘以它的宽度来找到。面积只能计算二维形状。它以平方为单位测量。
周长：基本上是形状周围的距离。给定形状的边长之和称为周长。在椭圆/圆的情况下，周长称为周长。
体积：这是一个与三维形状有关的量。它描绘了 3 维空间/对象将占据的形状。与面积不同，它以立方单位测量。
侧面面积：物体的侧面包括物体的所有侧面，但不包括其底部和顶部。因此，一个形状的面积，包括该形状的所有边，但不包括其底部和顶部，称为其侧表面积。
曲面面积：定义为物体曲面的面积。
总表面积：定义为给定对象或形状占据/排除的表面的总面积。与横向和曲面区域不同，它考虑了形状的所有侧面，无论是顶部/底部/曲线等。
对角线：这些是通过连接四边形的两个顶点（通过连接 4 个点形成的几何形状）形成的线段。

什么是四边形？

四边形是通过连接四个点形成的几何形状，其中三个点必须不共线，即不能位于同一直线上。如果是这种情况，那么连接的点将形成一条直线而不是一个形状。因此，一个四边形必须有四个边和四个顶点。因此，这种具有四个边和四个角的多边形称为四边形。四边形的内角和必须始终等于 360°。必须注意，这里讨论的四边形都只是二维形状。并不是说四边形不能是 3D 形状。在 3 维几何中，四边形不必像在 2 维几何中那样简单。它们可以沿对角线折叠，因此不需要它们具有共享同一平面的顶点。

下图描绘了二维几何中的各种四边形：

我们注意到所有这些形状都有 4 个边和顶点。以上所有多边形都可以归类为四边形。现在，根据它们的不同性质，无论是在边长线上，还是对角线的交点等，四边形都分为各种。基于这样的划分，我们可以将某些类型/种类的四边形相互区分开来，以使它们的性质更加清晰。这将在下一节中讨论。

四边形的类型

正方形：这样一个四边形，它的所有边都相等，所有四个角都为 90°。它是一个相邻边相等的矩形，这意味着所有四个边的长度都相等。下图显示了一个正方形 ABCD，其中 AB = BD = DC = CA。此外，∠CAB = ∠ABD = ∠BDC = ∠ DCA = 90°。

矩形：这种四边形的所有角都为 90 度，并且其平行边相等。当它的相邻边相等时，这样的矩形形成正方形。下图描绘了一个矩形 ABCD，其角度等于 90 度，平行边的长度相等。

平行四边形：有两对平行边的四边形。平行四边形的这些对边长度相等。平行四边形的对角线相互平分。如下图所示，AC和BD是相互平分的两条对角线，平行边相等。

菱形：平行四边形的这种特殊情况，其中相邻边的长度相等，并且对角线彼此以直角平分。在下图中，我们可以看到 AB = BC = CD = DA。此外，对角线 AC 和 BD 以直角相互平分。

梯形：这种至少有一对平行边的四边形称为梯形。如下图所示，ABCD是一个梯形，AB和CD相互平行。

讨论了所有这些类型之后，现在是时候详细研究菱形了。

什么是菱形？

菱形是平行四边形的特殊情况，其中相邻边的长度相等，并且对角线彼此以直角平分。我们也可以说，菱形实际上是正方形，只有当它的所有角度都等于 90 度时。由于在正方形中，所有四个边都相等，因此角度每个测量为 90 度，对角线也以直角平分。在下图中，我们可以看到 AB = BC = CD = DA。此外，对角线 AC 和 BD 以直角相互平分。

菱形的对角线

所有菱形都有两条对角线，它们连接成对的相对顶点。菱形沿其对角线对称。菱形的对角线垂直并以直角平分。

菱形的性质

菱形的所有边都是相等的。实际上，它只是一个相邻边相等的平行四边形。
菱形具有彼此平行的相对侧。
菱形的对角相等。
如果菱形的所有角度都相等，则称为正方形。
菱形的对角线总是以 90 度角平分彼此。
对角线不仅相互平分，而且还平分菱形的角。
菱形的两条对角线将它分成四个直角全等三角形。
菱形的两个相邻角相加等于 180 度。
菱形周围不能有外接圆。
菱形内不可能有内切圆。
通过将四个边的中点连接在一起，可以形成一个矩形。这样一个矩形的长度和宽度将是对角线长度的一半。因此，这个矩形的面积将是菱形面积的一半。如下图所示：

菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半。因此，如果 p 和 q 表示菱形的对角线长度，则其面积 = 1/2 × p × q。
菱形的周长定义为其所有边的总和。由于菱形的所有边的长度都相等，因此可以说菱形的周长是边长的四倍。因此，如果h表示菱形的边长，则其周长 = 4h。

概念问题

问题 1. 假设四边形 MNOP 是菱形。如果对角线 MO = 29 和对角线 NP = 14，菱形 MNOP 的面积是多少。

解决方案：

We know, Area of a rhombus = (d₁)(d₂)/2

Substituting the lengths of diagonals in the above formula, we have:

A = (29)(14)/2 = 406/2 = 203

The area of rhombus MNOP is therefore 203 square units.

编程需要懂一点英语

问题 2. 假设四边形 ABCD 是菱形。 ABCD 的周长是 40，其中一条对角线的长度是 12。ABCD 的面积是多少？

解决方案：

Since the perimeter of the rhombus is 40, and by definition all 4 sides of a rhombus have the same length, we know that the length of each side is 10. We can find the length of the other diagonal if we recognize that the two diagonals combined with a side edge form a right triangle. The length of the hypotenuse is 10, and each leg of the triangle is equal to one-half of each diagonal. We can therefore set up an equation involving Pythagorean’s Theorem as follows:

10²= x²+ 6², where x is equal to one-half the length of the unknown diagonal.

We can therefore solve for x as follows:

x²= 10²− 6²= 100 − 36 = 64

x is therefore equal to 8, and our other diagonal is 16. We can now use both diagonals to solve for the area of the rhombus:

A = (16)(12)/ 2 = 192/ 2 = 96.

The area of rhombus ABCD is therefore equal to 96 square units.

编程需要懂一点英语

问题 3. 求对角线长度为 (2x+2) 和 (4x+4) 单位的菱形面积。

解决方案：

We know, Area of a rhombus = (d₁)(d₂)/2

Substituting the lengths of diagonals in the above formula, we have:

A = $\frac{(2x+2)(4x+4)}{2}$ $\frac{\sqrt{8x^2}}{2}$