从两个给定数组生成的对的所有按位与的最小可能按位或

介绍

这个主题的意义在于，我们需要找到两个给定数组中每个对的按位与的最小可能按位或。换句话说，对于每个对中的两个数字，我们需要对它们进行按位与操作，并找到所有结果中的最小可能按位或值。这个问题可以用不同的算法来解决。

解决方案

方法一：

最简单的方法是使用两个嵌套的循环，枚举所有的对，并找到每个对的按位与的结果，然后在这些结果中找到最小可能按位或值。这种方法的时间复杂度是 $O(n^3)$，其中 $n$ 是数组的长度。显然，这个算法不是最优的。

public int getMinBitwiseOr(int[] arr1, int[] arr2) {
    int minOr = Integer.MAX_VALUE;
    for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
        for (int j = 0; j < arr2.length; j++) {
            int bitwiseAnd = arr1[i] & arr2[j];
            minOr = Math.min(minOr, bitwiseAnd);
        }
    }
    return minOr;
}

方法二：

第二种方法比较巧妙，采用的是二分搜索算法。我们首先对数组 arr2 进行排序，然后对数组 arr1 中的每个元素，在数组 arr2 中进行二分搜索，找到最接近该元素的值，然后计算它们的按位与结果，并找到所有结果中的最小可能按位或值。

public int getMinBitwiseOr(int[] arr1, int[] arr2) {
    Arrays.sort(arr2);
    int minOr = Integer.MAX_VALUE;
    for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
        int index = Arrays.binarySearch(arr2, arr1[i]);
        if (index < 0) {
            index = -(index + 1);
        }
        if (index == arr2.length) {
            index--;
        }
        if (index > 0 && Math.abs(arr2[index - 1] - arr1[i]) < Math.abs(arr2[index] - arr1[i])) {
            index--;
        }
        int bitwiseAnd = arr1[i] & arr2[index];
        minOr = Math.min(minOr, bitwiseAnd);
    }
    return minOr;
}

这种方法的时间复杂度是 $O(n \log n)$，其中 $n$ 是数组的长度。

方法三：

第三种方法使用了一些位运算的技巧，并且复杂度比前两种方法更低。我们可以从第一位开始处理，假设按位与结果的第一位为 $0$，那么所有的数字的第一位必须都是 $0$，否则按位与结果的第一位就会变成 $1$。因此，我们可以统计数组 arr1 和数组 arr2 中第一位为 $0$ 和为 $1$ 的数字的个数，然后如果它们的乘积大于 $0$，说明按位与结果的第一位必须为 $1$，否则为 $0$。然后我们可以对下一位进行同样的处理，直到处理完所有的位。最后得到的结果就是所有按位与的最小可能按位或值。

public int getMinBitwiseOr(int[] arr1, int[] arr2) {
    int minOr = 0;
    for (int b = 31; b >= 0; b--) {
        int zeros1 = 0, ones1 = 0, zeros2 = 0, ones2 = 0;
        for (int x : arr1) {
            if ((x & (1 << b)) != 0) {
                ones1++;
            } else {
                zeros1++;
            }
        }
        for (int x : arr2) {
            if ((x & (1 << b)) != 0) {
                ones2++;
            } else {
                zeros2++;
            }
        }
        if (ones1 * ones2 > 0) {
            minOr |= (1 << b);
        }
    }
    return minOr;
}

这种方法的时间复杂度是 $O(n)$，其中 $n$ 是数组的长度。注意，这种方法要求数组中的数字都是非负整数。

总结

本文介绍了从两个给定数组生成的对的所有按位与的最小可能按位或的问题，并且提供了三种不同的解决方案。第一种方案采用了暴力枚举的方法，时间复杂度为 $O(n^3)$；第二种方案采用了排序和二分搜索的方法，时间复杂度为 $O(n \log n)$；第三种方案采用了位运算的技巧，时间复杂度为 $O(n)$。在实际应用中，我们应该根据问题的规模和具体情况选择适当的解决方案。