元素各自位置按大小 N 排列的按位 XOR 的最大和

介绍

在给定一个整数数组 nums 的情况下，找到一个排列 nums'，使得 nums'[i] XOR nums'[i+1] 的结果的总和最大化。其中排列 nums' 中的元素各不相同且长度为 N。

XOR，即异或运算，是一种位运算，用于对两个二进制数的对应位进行逻辑运算。当两个位相同时，结果为0；当两个位不同时，结果为1。

算法思路

首先，我们可以观察到，如果两个数的某一个位是不同的，那么它们相互异或的结果一定是1；如果两个数的某一个位是相同的，那么它们相互异或的结果一定是0。

我们可以使用贪心算法来解决这个问题。首先，我们将数组 nums 进行排序，以获取 nums 的一个按照大小递增排列的新数组 sorted_nums。

然后，我们逐个遍历 sorted_nums 中的元素，从最高位开始。对于每一位，我们统计数组 sorted_nums 中该位为1的元素的个数 count_1 和该位为0的元素的个数 count_0。

如果 count_1 大于 count_0，则说明在该位上，选择了较多的元素为1，并且这些元素的异或结果一定会大于选择了较多的元素为0的情况。因此，我们可以将选择该位为1的元素的异或结果累加到最终结果中，然后更新该位为1的元素的个数 count_1。

否则，如果 count_1 小于等于 count_0，说明在该位上，选择了较多的元素为0，并且这些元素的异或结果一定会大于选择了较多的元素为1的情况。因此，我们可以将选择该位为0的元素的异或结果累加到最终结果中，然后更新该位为0的元素的个数 count_0。

最后，我们得到的最终结果即为按照大小 N 排列的按位 XOR 的最大和。

实现示例

def max_xor_sum(nums):
    sorted_nums = sorted(nums)
    result = 0
    max_bit = 31
    
    while max_bit >= 0:
        count_1 = count_0 = 0
        
        for num in sorted_nums:
            if (num >> max_bit) & 1:
                count_1 += 1
            else:
                count_0 += 1
        
        if count_1 > count_0:
            result += (1 << max_bit) * count_1
        else:
            result += (1 << max_bit) * count_0
        
        max_bit -= 1
    
    return result

复杂度分析

• 时间复杂度：该算法需要对数组进行排序，时间复杂度为 O(NlogN)，其中 N 表示数组的长度。同时，对于每个元素，需要统计其每一位为1或0的个数，时间复杂度为 O(N)。因此，总的时间复杂度为 O(NlogN + N) = O(NlogN)。
• 空间复杂度：排序所需的额外空间为 O(N)，因此空间复杂度为 O(N)。