两个等长子集的所有元素的按位XOR的最大和

题目描述：

给定一个长度为2^n的数组，将其分为两个等长的子集，使得这两个子集的所有元素按位异或（XOR）的和最大。

举例来说，对于数组 [1,2,3,4]，可以将其分为 [1,4] 和 [2,3] 两个子集，它们的按位 XOR 和为 7，是所有方案中最大的。

解题思路：

1. 如果数组长度不是2的幂次方，则无法将其等分为两个子集。需要将数组长度扩充至2^n。

2. 对于等分后的两个子集，可以将它们的元素按照二进制位的值分别放入两个桶中。

3. 对于每个桶，计算其中所有元素的按位 XOR 和，然后将两个 XOR 和相加即为最终结果。

4. 时间复杂度为 O(n)，可以使用递归或迭代的方式实现。

代码实现：

下面是 Python 代码实现，其中 max_xor_sum 函数接受一个长度为2^n的数组，返回两个子集的所有元素的按位 XOR 和的最大值。

def max_xor_sum(nums):
    n = len(nums)
    if n == 1:
        return 0
    else:
        # 将数组长度扩充至 2^n
        while n & (n - 1) != 0:
            nums.append(0)
            n += 1
        # 将元素按照二进制位分别放入两个桶中
        bucket1 = {}
        bucket2 = {}
        for i in range(n):
            if i < n // 2:
                bucket1[nums[i]] = True
            else:
                bucket2[nums[i]] = True
        # 计算每个桶中所有元素的按位 XOR 和
        xor_sum1 = reduce(lambda x, y: x ^ y, bucket1.keys())
        xor_sum2 = reduce(lambda x, y: x ^ y, bucket2.keys())
        # 递归计算两个子集的 XOR 和的最大值
        return max(
            max_xor_sum(list(bucket1.keys())) + xor_sum2,
            max_xor_sum(list(bucket2.keys())) + xor_sum1
        )

参考资料：

• LeetCode 1239. Maximum Length of a Concatenated String with Unique Characters
• Codeforces 510C. Fox And Names