数组中对的按位XOR的最大和最小和

在数组中，有一种操作被称为按位XOR（异或运算），即对于数组中的任意两个元素进行异或（^）运算操作。现在我们要选择数组中的一对不同的元素，对它们进行按位XOR操作，并返回所得结果的最大值和最小值。

例如，数组 arr = [1, 2, 3, 4, 5]。我们选择元素 1 和 5 进行按位XOR运算，得到结果 4；选择元素 2 和 5 进行按位XOR运算，得到结果 7；选择元素 3 和 4 进行按位XOR运算，得到结果 7。因此，最大值为 7 ，最小值为 4。

解法1：暴力枚举

最朴素的想法是枚举所有不同的元素对，计算它们的按位XOR值，并找到其中的最大值和最小值。时间复杂度为 O(n^2)。

def max_min_xor(arr):
    n = len(arr)
    max_xor = float('-inf') # 初始化最大值为负无穷
    min_xor = float('inf') # 初始化最小值为正无穷
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            xor = arr[i] ^ arr[j]
            max_xor = max(max_xor, xor)
            min_xor = min(min_xor, xor)
    return (max_xor, min_xor)

解法2：位运算

我们发现，对于任何两个二进制数异或运算，如果其中有一位是 1 ，那么这一位上的结果就是 1；如果这一位是 0 ，那么这一位的结果就是 0。因此，我们可以分别计算数组中所有元素在每一位上的值，再根据异或规则，按位计算最大值和最小值。

def max_min_xor(arr):
    n = len(arr)
    bit = 30 # 数组中最大的元素不超过2^30
    max_xor = 0
    min_xor = float('inf')
    for i in range(bit, -1, -1): # 从高位到低位依次计算
        # 计算数组中所有元素在当前位上的值之和
        sum_arr = sum([num >> i & 1 for num in arr])
        # 如果当前位上的值之和为0或n，说明在当前位上无异或运算的结果，跳过
        if sum_arr == 0 or sum_arr == n:
            continue
        # 计算当前位上的最大值和最小值
        cur_max_xor = 0
        cur_min_xor = float('inf')
        for num in arr:
            if num >> i & 1:
                cur_min_xor = min(cur_min_xor, num ^ (sum_arr - 1) << i)
                cur_max_xor = max(cur_max_xor, num ^ (n - sum_arr) << i)
            else:
                cur_min_xor = min(cur_min_xor, num ^ sum_arr << i)
                cur_max_xor = max(cur_max_xor, num ^ (n - sum_arr - 1) << i)
        max_xor |= cur_max_xor
        min_xor &= cur_min_xor
    return (max_xor, min_xor)

上述代码时间复杂度为 $O(32n)$。