查询以任何不超过M的数组元素计算X的最大按位XOR

在计算机科学中，按位异或（XOR）是一种二进制运算，它将两个操作数的每个位组合起来，当位不同时为1，否则为0。这个运算在密码学、数据传输等方面都有着广泛的应用。

我们需要解决的问题是，给定一个长度为N的整数数组，以及另外两个整数M和X，找到数组中任何不超过M的元素之间按位XOR所得的最大值。

解决方案

方法一：暴力枚举

通过枚举所有元素之间的XOR值，然后找到所有不超过M的值中的最大值，即可得到答案。由于一共有O(N^2)种组合，复杂度较高，而且效率低下。

def max_xor(arr, m, x):
    n = len(arr)
    res = -1
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if abs(arr[i] - arr[j]) <= m:
                res = max(res, arr[i] ^ arr[j] ^ x)
    return res

方法二：字典树

通过将所有元素二进制表示的每一位提取出来，构建一棵字典树，然后从高位到低位进行搜索，每次选择与X的相应位相反的路径，即可找到不超过M的元素之间的最大XOR值。时间复杂度为O(NlogV)，其中V为元素的最大值。

class TrieNode:
    def __init__(self):
        self.children = {}
        
class Trie:
    def __init__(self):
        self.root = TrieNode()
        
    def insert(self, num):
        node = self.root
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            if bit not in node.children:
                node.children[bit] = TrieNode()
            node = node.children[bit]
            
    def max_xor(self, num, m):
        node = self.root
        res = 0
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            if (1 - bit) in node.children and m >= (1 << i):
                res |= (1 << i)
                node = node.children[1 - bit]
            else:
                node = node.children[bit]
        return res

def max_xor(arr, m, x):
    n = len(arr)
    trie = Trie()
    for i in range(n):
        trie.insert(arr[i])
    res = 0
    for i in range(n):
        if abs(x - arr[i]) <= m:
            res = max(res, x ^ arr[i] ^ trie.max_xor(x ^ arr[i], m))
    return res

总结

通过使用字典树，我们可以在O(NlogV)的时间复杂度内解决这个问题。然而，对于较大的输入，如果元素值范围太大，则字典树的空间复杂度也会很高，需要考虑其他的思路。