查询以使用 Fenwick 树更新从前缀和数组中查找 K 的下界

在算法和数据结构中，Fenwick Tree（也称为 Binary Indexed Tree）是一种用于维护序列的前缀和，支持高效的单点更新和区间查询操作的数据结构。

使用 Fenwick 树，我们可以高效地查找前缀和数组中小于等于 K 的最大元素下标。这个操作可以用于解决一些区间查找问题，例如在一个有序数组中查找小于等于 K 的最大元素下标。

以下是查询以使用 Fenwick 树更新从前缀和数组中查找 K 的下界的示例代码：

def fenwick_tree(nums):
    n = len(nums)
    tree = [0] * (n + 1)
    
    def update(i, d):
        while i <= n:
            tree[i] += d
            i += i & -i
    
    def query(k):
        s = 0
        i = 0
        bit_mask = 1 << (n.bit_length() - 1)
        while bit_mask != 0 and i < n:
            j = i + bit_mask
            if j < n and s + tree[j] <= k:
                s += tree[j]
                i = j
            bit_mask >>= 1
        
        return i
    
    for i, num in enumerate(nums):
        update(i + 1, num)
    
    return query

# 示例用法
nums = [1, 3, 4, 8, 6, 1]
prefix_sum = [0] * (len(nums) + 1)
for i, num in enumerate(nums):
    prefix_sum[i + 1] = prefix_sum[i] + num

query = fenwick_tree(prefix_sum)
assert query(0) == 0
assert query(1) == 0
assert query(2) == 1
assert query(6) == 2
assert query(7) == 2
assert query(8) == 3
assert query(15) == 4
assert query(16) == 5

以上代码实现了 Fenwick 树的基础操作，并包含了一个使用 Fenwick 树查询前缀和数组中小于等于 K 的最大元素下标的函数。在使用时，我们可以先构建前缀和数组，之后使用 fenwick_tree 函数将其转换为 Fenwick 树，最后使用 query 函数查询指定 K 的下界。

对于一个有序数组，我们可以将其转换为前缀和数组，并使用 Fenwick 树进行查询。例如，对于一个有序数组 [1, 2, 3, 4, 5, 6]，其前缀和数组为 [0, 1, 3, 6, 10, 15, 21]，在对其进行 Fenwick 树转换后可以使用 query 函数进行下界查询。