使用 Fenwick Tree 对给定范围内的元素进行 XOR 更新

Fenwick Tree，也叫树状数组，是一种用于动态维护序列前缀和的数据结构。它支持在 $O(\log n)$ 的时间内进行单点修改和查询前缀和操作。

在本题中，我们需要使用 Fenwick Tree 对给定范围内的元素进行 XOR 更新。具体地，我们需要维护一个数组 $a$，支持以下两种操作：

• 单点修改：将 $a_i$ 的值设为 $v_i$。
• 范围 XOR 更新：将 $a_l$ 到 $a_r$ 中的每个元素都异或上一个给定的值 $x$。

所有元素的初始值均为 $0$。

我们可以使用 Fenwick Tree 来实现这两种操作。具体思路如下：

• 对于单点修改操作，我们可以维护一个 Fenwick Tree，每个节点上存储的是到达该节点的所有元素的异或和。我们可以使用 XOR 操作来向上更新 Fenwick Tree 的节点。
• 对于范围 XOR 更新操作，我们可以将其分解为两次单点修改操作，即将 $a_l$ 异或上 $x$，将 $a_{r+1}$ 异或上 $x$。然后，我们只需要查询 $a_l$ 到 $a_r$ 的前缀异或和即可。

下面给出使用 Fenwick Tree 实现上述操作的代码片段：

class FenwickTree:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.tree = [0] * (n + 1)

    def update(self, i, x):
        while i <= self.n:
            self.tree[i] ^= x
            i += i & -i

    def query(self, i):
        res = 0
        while i > 0:
            res ^= self.tree[i]
            i -= i & -i
        return res

def range_xor_update(a, l, r, x):
    n = len(a)
    tree = FenwickTree(n)

    # 将 a_l 异或上 x
    tree.update(l, x)

    # 将 a_{r+1} 异或上 x
    if r + 1 < n:
        tree.update(r + 1, x)

    # 查询 a_l 到 a_r 的前缀异或和
    res = tree.query(r) ^ tree.query(l - 1)

    return res

这段代码中，FenwickTree 类封装了 Fenwick Tree 的单点修改和查询操作。range_xor_update 函数使用 Fenwick Tree 来实现范围 XOR 更新操作。具体实现中，我们定义了一个 FenwickTree 对象，然后使用其 update 方法对 a_l 和 a_{r+1} 进行修改，最后使用其 query 方法查询前缀异或和。注意，查询范围为 $[l, r]$，所以我们需要将 $a_l$ 的前缀异或和和 $a_{r+1}$ 的前缀异或和分别查询并取异或差来得到答案。

以上就是使用 Fenwick Tree 对给定范围内的元素进行 XOR 更新的实现思路和代码。通过使用 Fenwick Tree，我们可以在 $O(\log n)$ 的时间内完成单点修改和范围 XOR 更新操作。