使用Fenwick树对给定范围内的元素进行XOR与更新

Fenwick树，又称为树状数组，是一种用来高效实现静态数组范围查询和单点修改的数据结构。Fenwick树的主要优点是空间复杂度低，时间复杂度小，可以高效地解决一些累计函数问题。本文将介绍如何使用Fenwick树对给定范围内的元素进行XOR操作和更新。

算法原理

Fenwick树本质是一棵二叉树，每个节点保存的是前缀和。节点的下标代表的是原始数组中的下标，每个节点的值是从下标1到该节点下标的元素之和。

Fenwick树的查询操作和修改操作都是从根节点开始，到叶子节点结束。查询操作从叶子节点开始，沿着路径向上累加节点的值。修改操作从叶子节点开始，沿着路径向上修改节点的值。

对于本题中的XOR操作，需要使用到异或的性质：a^b^b=a。具体地，对于一个区间[l,r]，我们可以把其表示为[l-1,r]的异或结果与[l-1]的异或结果的异或，即XOR[l-1,r] ^ XOR[l-1]。

对于区间修改操作，可以通过对区间右端点和左端点分别进行两次单点修改来实现。

示例代码

下面是使用C++实现的Fenwick树对给定范围内的元素进行XOR与更新的示例代码：

const int MAXN=1e5+10; // 数组大小
int n; // 数组大小
int a[MAXN]; // 原始数组
int c[MAXN]; // Fenwick树

// Fenwick树单点修改
void update(int x, int k){
    for (int i=x; i<=n; i+=i&-i) c[i] ^= k;
}

// Fenwick树查询
int query(int x){
    int res = 0;
    for (int i=x; i>=1; i-=i&-i) res ^= c[i];
    return res;
}

int main(){
    scanf("%d", &n);
    for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", &a[i]);

    // 初始化Fenwick树
    for (int i=1; i<=n; i++) update(i, a[i]);

    // 对区间[l,r]进行XOR操作
    int l, r;
    scanf("%d%d", &l, &r);
    int ans = query(r) ^ query(l-1);
    printf("%d\n", ans);

    // 对区间[l,r]进行修改
    int x, k;
    scanf("%d%d", &x, &k);
    update(x, a[x]);
    a[x] = k;
    update(x, a[x]);

    return 0;
}

其中，update()函数用于单点修改，query()函数用于查询Fenwick树的前缀异或和。在初始化Fenwick树时，需要对原始数组进行单点修改。

总结

Fenwick树是一种高效的数据结构，可以用于解决一些累计函数问题。本文介绍了如何使用Fenwick树对给定范围内的元素进行XOR操作和更新，希望能够对大家有所帮助。