使用前缀和的 O(n) 中的最大子数组和

在算法领域，求一个数组中的最大子数组和是一道经典问题。最常见的解法是动态规划，时间复杂度为 $O(n^2)$。但是，我们可以利用前缀和的思想，将时间复杂度优化到 $O(n)$。

前缀和

前缀和其实就是一个数组每个位置之前所有元素的和。我们可以用一个 $sum$ 数组来存放前缀和，其中 $sum[0]=0$，$sum[i]=\sum_{j=0}^{i-1}a_j$。

最大子数组和

设 $dp[i]$ 表示以第 $i$ 个元素结尾的最大子数组和。那么，显然有：

$$dp[i]=\max{dp[i-1]+a[i],a[i]}$$

最终的答案就是 $\max\limits_{1\leq i\leq n}dp[i]$。

代码实现

利用前缀和优化动态规划，我们可以这样做：

def max_subarray_sum(nums):
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return 0
    max_sum = nums[0]
    min_sum = 0
    sum = 0
    for i in range(n):
        sum += nums[i]
        max_sum = max(max_sum, sum - min_sum)
        min_sum = min(min_sum, sum)
    return max_sum

注：此代码片段为Python语言，利用了一个特性，$max_sum$ 存放的是以 $i$ 结尾的最大子数组和，$min_sum$ 存放的是 $sum$ 的最小值（即前缀和是否发生了从头开始的“跳跃”），这样能保证最大子数组和的正确性。

总结

尽管算法并不复杂，但是前缀和的思想在其他问题的求解中也常常得到应用。因此，理解前缀和思想的重要性不言而喻。